多元函数的基本概念

一、多元函数的极限

1. 二元函数的定义

设是平面上的一个点集，若对每个点，变量按照某一对应法则f有一个确定的值与之对应，则称为的二元函数，记为，其中点集称为该函数的定义域，称为自变量，称为因变量，函数的全体所构成的集合称为函数的值域，记为

通常情况下，二元函数在几何上表示一张空间曲面

2. 二元函数的极限

设函数在区域上有定义，点或为的边界点，如果，存在，当，且时，都有成立，则称常数为函数当时的极限，记为或或

例1：求

法1（凑）：

原式

法2（等价无穷小）：

原式

二、多元函数的连续性

1. 二元函数连续性的概念

设二元函数的定义域为。为上的点，如果，那么称函数在点连续

2. 多元连续函数的性质

• 多元连续函数经过四则运算法则仍为连续函数
• 多元连续函数的复合函数仍为连续函数
• 有界性与最大最小值定理：在有界闭区域上的多元连续函数，必定在上有界，且在上能取得它的最大值与最小值
• 在有界闭区域上的多元连续函数，必能取得介于最大值与最小值之间的任何值

偏导数

一、偏导数的定义及计算方法

1. 偏导数的定义

设函数在点的某一邻域内有定义，当固定在，而在处有增量时，相应的函数有增量，如果存在，那么称此极限为函数在点处对的偏导数，记作，，，

2. 偏导函数的定义

如果函数在区域内每一点处对的偏导都存在，那么这个偏导数就是的函数，它就称为函数对自变量的偏导函数，记作，，，，类似的，可以定义函数对自变量的偏导函数，记作，，，

例1：求在点处的偏导数

代入得

二、高阶偏导数

1. 高阶偏导数的定义

设函数在区域内具有偏导数，，于是在内，都是的函数，如果这两个函数的偏导数也存在，那么称它们是函数的二阶偏导数，按照对变量求导次序的不同于下列四个二阶偏导数

其中第二、三这两个偏导数称为混合偏导数，同样可得三阶、四阶……以及阶偏导数，二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数

例2：证明函数满足方程其中

由变量对称性得

则

证毕

全微分

一、全微分的定义

设函数在点的某邻域内有定义，如果函数在点的全增量可以表示为，其中和是不依赖于和而仅与和有关（），，那么称函数在点可微分，而称为函数在点的全微分，记作，即

二、全微分存在的必要条件

如果函数在点可微分，那么该函数在点的偏导数与必定存在，且函数在点的全微分为

证明：

在处可微分

故成立

令时，

两边同除， 得

故

同理令

得

区别：一元函数在某点的导数存在是微分存在的充分必要条件，但对于多元函数而言，歌偏导数存在是全微分存在的必要条件而不是充分条件

一元函数

二元函数

二元函数的图形往往是个曲面，对应的定义域是个二维平面。偏导数只是曲面上沿着x轴或者y轴方向的变化率，而微分必须是曲面上某一个很小的“小平面代曲面”

这里就有了问题，存在偏导数，说明沿着x轴方向和y轴方向可以带，但是斜着的方向不一定，斜方向可能一下就是个无穷大无穷小，这样就不能小平面近似了

作者：xynnn

链接：​​https://www.zhihu.com/question/485892011/answer/2114265340​​

与其实是同一个东西，可以约掉变成。但是这明显不对，两个∂z其实是有区别的，第一个是沿着方向的变化，一个是沿着方向的变化，不妨区分一下写成。   这告诉我们由于的变化，造成的的变化可以分解成两个部分相加，由变化造成的，由变化造成的。就像在矢量分解一样。设长方形，。如果记点与点值的差为那么，。

作者：unidentified2015

链接：​​https://www.bilibili.com/read/cv1249183​​

例1：证明在处偏导数存在但不可微

故存在

由变量对称性得，存在

三、全微分存在的充分条件

如果函数的偏导数在点连续，那么函数在该点可微分

证明：

此处用到了拉格朗日中值定理带有的形式即

设在点连续

则

同理得

故

当时

对于

因此

故

故可微分

例2：计算函数的全微分

故全微分

多元复合函数求导法则

一、一元函数与多元函数复合

如果函数及都在点可导，函数在对应点具有连续偏导数，那么复合函数在点可导，且有

建议画图，方便理解

二、多元函数与多元函数复合

如果函数及都在点具有对及对的偏导数，函数在对应点具有连续偏导数，那么复合函数在点的两个偏导数都存在，且有

建议画图，方便理解

例1：设，而，求和

同理不再展示计算过程

例2：设，具有二阶连续偏导数，求

令

则

原函数的偏导数也是关于的函数

也可以用表示，用表示

过程相同，结果为

隐函数求导公式

隐函数存在定理1：设函数在点的某一邻域内具有连续偏导数，且，则方程在点的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数，它满足条件，并有。该公式即为隐函数求导公式

例1：验证方程在点的某一邻域内唯一确定一个有连续导数，当时的隐函数，并求着函数的一阶及二阶导数在的值

隐函数存在定理2：设函数在点的某一邻域内具有连续偏导数，且，则方程的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数，它满足条件，并有

多元函数微分学的几何应用

一、空间曲线的切线与法平面

设空间曲线的参数方程为，且在上均可导，且导数不同时为，则曲线在点处的切线方程为，法平面方程为，其中为曲线在点处的一个切向量

例1：曲线x=t,y=t^2,z=t3在点(1,1,1)处的切线及法平面方程

x'(t)=1,y'(t)=2y,z'(t)=3t^2

则切向量，

切线方程为，

法平面方程为，，即

二、曲面的切平面与法线

• 设曲面为，为曲面上的一点，且在处的偏导数连续且不同时为，则曲面在点处的切平面方程为，法线方程，其中为曲面在点处的一个法向量
• 如果曲面方程为，则其法向量为。切平面方程：。法线：

可以用该方法的，移项以后也可以用前面的方法

例2：求旋转抛物面在点处的切平面及法线方程

故且平面方程为，即

法线方程为

方向导数与梯度

一、方向导数

方向导数的定义

如果函数在点处可微分，那么函数在该点沿任一方向的方向导数存在，为，其中是方向的方向余弦

例1：求函数在点处沿从点到点的方向的方向导数

则与同向的单位向量

则

二、梯度

梯度的定义

设函数在平面区域内具有一阶连续偏导数，则对于每一点，都可定出一个向量，称为函数在点的梯度，记作，即

例2：求

则

则

多元函数极值及其求法

一、多元函数的极值

1. 多元函数极值的定义

设函数的定义域为，为内的点，若存在的某个邻域，使得对于该邻域内异于的任何点，都有，则称函数在点处有极大值，点称为函数的极大值点；若对于该邻域内异于的任何点，都有，则称函数在点处有极小值，点称为函数的极小值点

2. 多元函数极值的必要条件

设函数在点处具有偏导数，且在点处有极值，则有

3. 多元函数极值的充分条件（判别方法）

设函数在点的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，且，令，则在点处是否取得极值的条件如下：

• 时具有极值，且当时有极大值，当时有极小值
• 时没有极值
• 时，无法判断，需要用定义判断

例1：求函数的极值

令解得

当在点时，

又，故为极小值，为

当在点时，

，不是极值

当在点时，

，不是极值

当在点时，

又，故为极大值，为

二、条件极值

拉格朗日数乘法

步骤：

1. 先做拉格朗日函数（其中为参数）。一般会出现，求在的条件下的极值/最值
2. 令，得到可能的极值点
3. 将求出的可能的极值点带入中，根据实际情况去判断

几何意义

设给定目标函数，约束条件为

如图所示，曲线为约束条件，为目标函数的等值线族

在偏导数都连续的条件下，目标函数在约束条件下的可能极值点，从几何上看，必是目标函数等值线曲线族中与约束条件相切的那个切点

因为两曲线在切点处必有公切线，所以目标函数等值线在点处法向量与约束条件曲线在点处法向量平行，即

也就是说存在实数，使下式成立

需要注意的是，目标函数等值线与约束条件曲线的切点未必就是目标函数在约束条件下的极值点（如图中的点）

链接：​​https://baike.baidu.com/item/拉格朗日乘数法/8550443​​

例2：求在闭区域上的最值

先求无条件极值，求出可能的极值点，及驻点

再求条件极值，令

令，求得可能的极值

两个结果对照，都存在的点即为极值，最大的即为最大值，最小的即为最小值

例3：求函数在附加条件下的极值

令

当时，不符合题意

当时

得

得

故

将代入式得

，故

由，得

代入中，得

（注意此处应当验证无条件极值是可能存在的极值点，但由于条件极值只有一个答案，所以此处过程省略。如果按照一般步骤先算无条件极值，再算条件极值，则不能省略）