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矩阵方程有解判定定理

线性方程组有解判定

• 线性方程组有解的充分必要条件是它的系数矩阵A和增广矩阵具有相同的秩,记:

• 若有方程组有唯一解
• 若方程组有多解

• 对于非齐次线性方程,需要计算
• 对于齐次线性方程只需要计算

特化:齐次线性方程组有解判定

• 这是线性方程组有解的特例,可以将定理进一步简化
• 齐次线性方程组齐次方程组的情况可以理解为中元素全为0
• 容易知道总有,因此齐次线性方程组总是有解;

• 我们只需要计算系数矩阵的秩即可得到
• 若则方程组有唯一解,并且是零解
• 若方程组有非零解

• 齐次线性方程组有解判定定理:齐次线性方程组有解的充要条件是;

• 有零解(唯一解)的充要条件是
• 有非零解(多解)的充要条件是;

推广:矩阵方程有解判定

• 这里是常数项矩阵(不再是系数矩阵的增广矩阵)
• 定理:矩阵方程有解的充要条件是

• 注意这里不一定是向量,可能是多行多列的矩阵
• 参考同济线代v6@p76@定理6

证明

• 设分别为,,的矩阵
• 对X和B按列分块:

• =,
• =

• 矩阵方程等价于个向量方程(线性方程组)
• =
• 所有等价于=

• 又等价于共个线性方程组
• 这些线性方程的共同点是有相同的系数矩阵,这意味着这个线性方程组以及原矩阵方程的系数矩阵的秩都是相等的,这个结论很重要
• 而位置数矩阵和常数项矩阵又是相对独立的

• 设,且的行阶梯形矩阵为,则有个非零行,且的后行为全零行
• =

• 其中是的行阶梯形矩阵
• 而向量是与执行相同的行变换后的结果,即并不表示某个行阶梯形矩阵

• 将等价的第个线性方程组的增广矩阵初等行变换为行阶梯形矩阵: ,
• 有解有解

• =,
• 的后个分量(元)全为0

• 因为,若后个元中存在非零元,会导致,导致无解
• 而其前个元的取值情况不会影响=的成立,我们不关心

• 矩阵的后行全为0;
• 行阶梯形矩阵=的后行全为0
• ,又因为包含了,所以
• 
• 

• 因此,如果有解,则

推论

• 若有解,则,所以,即常数项矩阵的秩小于系数矩阵的秩
• 对两边同时取转置运算,有,同理有,即
• 综上,