文章目录

• abstract
• 两直线的位置关系

• 用初等代数的知识推导
• 从线性方程组的解的结构推导
• 比值式判定两直线平行
• 重合判定

• 总结

• 判断位置关系的算法
• 直线平行对应的方程关系👺

• 特殊相交关系

• 两条直线垂直
• 直线垂直对应的斜率关系
• 直线垂直判断算法
• 直线垂直对应的方程关系

abstract

• 平面直线间位置关系

• 讨论直线的相交@重合@平行三种基本关系及其条件
• 直线垂直关系及其条件

两直线的位置关系

• 讨论直线的相交/重合/平行三种基本关系及其条件
• 设两条直线分别为:;:,联立两个方程为方程组(1)

用初等代数的知识推导

• 使用高斯消元法,若先消去,则

• 
• 
• 两式相减,(2-1)

• 类似的,若先消去

• 
• 
• 可得:,(2-2)

• 由(2-1)或(2-2),(下面以(2-2)为主讨论)当,(3)

• 有:
• 类似的可得
• 因此时,方程组有唯一解;这是两条直线相交,交点为坐标

• 当(3-0)时,且(3-1)或(3-2)时,方程组(1)无解,此时两直线没有公共交点,两直线平行(不重合)

• 这一点可以从式(2-2)看出,当时,方程(2)写成,若,则可使得(2)不成立,也就是方程(1)无解
• 从而(3-0),(3-2)是无解的条件;对于(3-0),(3-1)也是类似的原因

从线性方程组的解的结构推导

• 方程组(1)可以写作:

• 
• 该线性方程组的系数矩阵

• 

• 由于方程组的未知数个数和方程个数相等,考虑使用Cramer法则给出唯一解的条件:时方程组(1)有唯一解;即=
• 或者更一般的,使用初等变换法,以及线性方程组解的情况的秩判别法

• 

• 这里假设

• 当,两边乘以,得式(3),这就是有解的条件
• 无解的条件是,且,这就是无解的条件,即式(3-0),(3-1)

比值式判定两直线平行

• 若,则两条直线平行的条件可以改写为比值形式:

重合判定

• 对于,的情形(此时两直线相交),令这个比值为非零常数,则,,,()(4)
• 在条件(4)下,两个直线方程中未知数的对应系数成比例,方程可以写成(5)

• 显然,方程的解集相同,此时两直线重合

总结

• 的位置关系有3种,相交,平行,重合

• 此处的3种关系,具体的说,相交是相交于一点,(两直线方程的解集的交集仅有一个元素)
• 平行是没有交点(两直线方程解集的交集为空集)
• 重合是其他两种情况以外的情形(两直线方程的解集相同)

• (单点)相交,则或
• 平行:

1. 且或中的一个成立
2. 或

• 重合:,,,或

用表格表示:

	条件不全为0()	比值式条件
相交于一点
平行不重合	且
重合	,,,

判断位置关系的算法

• 由两直线的一般方程为,赋值(不同时为0)
• 计算,或
• 若,则相交
• 若,,则平行
• 若,,则重合

直线平行对应的方程关系👺

• 若,,,则两直线平行
• 证明:=;=或=

• 当时,,两直线平行
• 当时,由直线的定义,不同时为0,从而时,,

• 方法1:=0,但,所以,两直线平行
• 方法2:从直线本身特点判断

• 两直线分别为,,即分别为,,这两条直线都与轴垂直,那么两直线要么平行,要么重合
• 由于,从而两直线平行而不重合

• 一般地,我们可以把与直线平行(不重合)的直线设为,

特殊相交关系

两条直线垂直

• 设两条直线分别为:;:
• 在平面内,两条直线垂直则一点相交,即,垂直是相交的一种特殊情况
• 由直线平行对应的方程关系可知,和:平行,和:平行,从而研究的垂直条件时,可以转换为研究的垂直条件
• 显然,是通过坐标原点的直线,在直线上分别取原点外的点,分别设为,,并且
• 设斜率存在且非0(不与坐标轴平行或垂直),即,直线可以分别表示为(0-1),(0-2),即""的形式

• 由两点间距离公式:
• 勾股定理,=
• 化简后可得(1),代入(0-1),(0-2),得(2)
• 因为,所以(2-1)
• 对(2-1)两边同乘,得(2-2)
• 逆向推导可知,相互垂直,也就有相互垂直

• 若中有一条斜率不存在或为0,(与坐标轴平行或重合)

• 当时,可知另一条也与坐标轴重合或平行
• 不妨设,,此时,
• 这同样有(2-2)成立,反之,由式(2-2),也可推出

• 综上,平面内任意两条直线垂直的条件是,即式(2-2)

直线垂直对应的斜率关系

• 设的斜率存在且分别为,则,,则,
• 由式(2-2),,从而(3)
• 这就是说,两条斜率存在的直线垂直的条件是

直线垂直判断算法

• 由两直线的一般方程为,赋值(不同时为0)
• 计算
• 若,则,否则不垂直
• 例:

• 和;M=,可知两直线垂直

直线垂直对应的方程关系

• ,与直线垂直
• 证明:

• 因为=0,因此两直线垂直

• 一般的,直线垂直的直线可以设为