文章目录

• 2个向量组间的表示关系

• 向量组的相互表出
• 向量组用另一个向量组表示👺
• 线性表示的系数矩阵
• 矩阵乘法与线性表出

• 列向量组线性表示
• 行向量组线性表示

• 向量组等价👺

• 向量组等价的性质
• 推论

• 等价矩阵与向量组等价的关系

• 行等价矩阵的行向量组等价
• 列等价矩阵的列向量组
• 小结
• 向量组等价和矩阵等价的比较🎈

• 概念迁移:线性方程组之间的等价

• 方程组的线性组合
• 方程组被另一个方程组线性表示
• 方程组等价
• 线性方程组同解问题

• 向量组可被另一个向量组线性表示判定定理👺

• 分析
• 定理👺
• 推论:两向量组等价的充要条件
• 向量组的矩阵秩间关系👺

• 矩阵方法
• n维单位坐标向量

2个向量组间的表示关系

向量组的相互表出

• 设有两个同维向量组,
• 若都可以被线性表示,则称向量组可以由线性表示

向量组用另一个向量组表示👺

• 若可以由线性表示,则对的每个向量存在维向量使得:

• ==;
• 这种表出关系中涉及两个向量组,分别是表示向量组和被表示向量组

线性表示的系数矩阵

• 根据分块矩阵乘法=有:

• 
• 其中矩阵称为线性表示的系数矩阵

矩阵乘法与线性表出

• 若=,则

列向量组线性表示

• 的列向量组能够由矩阵的列向量组线性表示,且为这一表示的系数矩阵:

• 

行向量组线性表示

• 同时的行向量组能由的行向量组线性表示,且为这一表示的系数矩阵

• 

• =,

向量组等价👺

• 若两个向量组和可以相互线性表示,则称两个向量组等价记为

• 若两个向量组可通过中的向量调整顺序得到,则显然地可以相互线性表出(表出系数为全1向量),同时有
• 若是的一个部分组,则显然可以被线性表示,表出系数为仅包含的向量

向量组等价的性质

• 反身性:每个向量组和自身等价
• 对称性:
• 传递性:

推论

• 若,则

等价矩阵与向量组等价的关系

行等价矩阵的行向量组等价

• 设矩阵,即矩阵经过初等行变换可以变成矩阵,即存在可逆矩阵使得;
• 由矩阵乘法和线性表示的关系,的行向量组可以被的行向量组线性,且表示系数矩阵
• 反之,所以的行向量组可以被的行向量组线性表示,且表示系数矩阵为
• 可见可以相互表示,从而;两个向量组等价

列等价矩阵的列向量组

• 类似的,若,则

小结

• 若,则
• 但是逆命题不成立,因为对于,不一定是可逆矩阵

向量组等价和矩阵等价的比较🎈

• 向量组等价在于相互表示
• 矩阵等价在于可以通过初等变换相互转换

概念迁移:线性方程组之间的等价

• 向量组的**"线性组合**,线性表示以及等价"等概念可以迁移到线性方程组上

方程组的线性组合

• 线性方程组中的线性方程对应于一个行向量
• 对方程组的各个方程作线性运算得到的新方程称为"方程组的一个线性组合"

方程组被另一个方程组线性表示

• 若方程组的每个方程都是方程组的线性组合,则称方程组能由方程组线性表示

方程组等价

• 若方程组能相互线性表示,则可以互推,可互推的线性方程组相也称它们等价

线性方程组同解问题

• 方程组的解一定是方程组的解,反之则不一定成立(方程组的部分解和方程组的解重合)

• 是的充分条件,是的必要条件,这也说明,的解一定满足,但是的解可能仅满足的部分条件

• 可互推的线性线性方程组一定是同解的

向量组可被另一个向量组线性表示判定定理👺

分析

• 以列向量组为例讨论;行向量组类似有相同的结论
• 向量组能由向量组线性表示,其含义是存在矩阵,使得=成立
• 也是矩阵方程=有解,就是线性表示的表示系数矩阵

• 记=;,矩阵方程作
• 则是方程有解的充要条件

定理👺

• 向量组能由向量组线性表示的充要条件是矩阵

• 对于行向量组,相当于判定是否有解,这个问题可以转换为列向量组,即利用转置运算转换为,而判定条件,等价于

推论:两向量组等价的充要条件

• 由上述定理:

• 向量组能由线性表示,则
• 向量组能由线性表示,则

• 此外由初等列变换中的列交换有,所以=
• 两向量组等价的充要条件是

向量组的矩阵秩间关系👺

• 设向量组能由向量组线性表示,则
• 证明:

• 由于能被线性表示,则
• 又由分块矩阵秩的性质:
• 所以

• 结论表明,被表示向量组的矩阵的秩小等于表示向量组的矩阵的秩
• 形象的理解该结论能够被表示(代替掉),说明的内涵(秩)不超过

矩阵方法

• 用矩阵来表述问题,并通过矩阵的运算结局问题的方法通常叫做矩阵方法,是线性代数的基本方法
• 例如,将向量组的问题表述称矩阵形式,通过矩阵的运算来得出结果,在把矩阵形式的结果翻译成几何语言问题的结论
• 以下三种表述是对应等价的

• 向量组能由向量组线性表示(几何语言)
• 存在矩阵,使得(矩阵语言)
• 方程有解(矩阵语言)

n维单位坐标向量

• 阶单位矩阵=的列向量称为**维单位坐标向量**
• 设维向量组构成矩阵;易知
• 结论:维单位坐标向量都能由向量组线性表示的充要条件是(几何语言描述,描述中不直接涉及矩阵运算)
• 证明:能被线性表示,则有解

• 等价于:;
• 而,仅有行,即;综上,
• 所以:=

• 结论用矩阵语言描述(描述中包含矩阵运算):对矩阵,存在矩阵,使得的充要条件是

• 或有解的充要条件是