文章目录
- abstract
- 数学概念和运算的定义
- 数量积(内积@点积)
- 代数表示
- 从ji'he
- 几何表示
- 余弦定理和向量数量积
- 向量点积运算律
- 交换律
- 分配律👺
- 结合律
- 数量积和恒力做功模型
- 利用内积判断向量间的关系
- 小结
abstract
- 两个向量间的乘法:
- 数量积
- 向量积
- 两种向量的乘法都有对应的物理问题,相关的计算规则抽象自物理模型
- 数量积与恒力做功
- 向量积与力矩
- 将物理问题模型抽象成数量关系模型,从代数运算的角度研究向量某些方面的性质,并应用这些运算的特点可以直观的解决某些数学问题,例如向量(直线)位置关系,平行四边形的面积等
- 另一方面将向量利用坐标系来表示和研究,可以给出向量乘积的几何表示对应的纯代数运算表示
- 因此,有时也利用向量的坐标,定义向量乘积,并且给出的定义恰好对应几何定义
- 本文介绍数量积,向量积另见它文
数学概念和运算的定义
- 向量的数量积和向量积的运算规则,我想顺带讨论以下数学中一个概念的引入的动机
- 在数学中定义某个概念或规则,或者因为这个概念能够描述某些问题,或者因为这个规则能够对应或者解决某一类问题
- 例如行列式的定义及其计算规则(以下用此种定义代指),因为行列式的此种定义能够描述(或源于相关研究)某些重要问题(可能是数学以外的相关学科问题,比如物理问题):
- 方阵是否可逆的判断公式可以用行列式简洁的描述
个含有
- 总之行列式的此种定义确实有用,这也是行列式如此定义的理由,而不是毫无根据的给出一个定义和计算规则
- 线性代数主要问题是为了研究线性方程组的解,在研究这个问题的过程问题被分解为许多小的问题,并中定义了许多相关概念,然后利用这些概念辅助描述子问题和结论
- 总之,某些资料在教授过程中会直接抛出一个特定的计算公式或规则,但没有告诉读者为什么这么定义,其必然存在某个源问题的研究
数量积(内积@点积)
- 向量数量积,在更加抽象的讨论中,数量积的推广是向量内积可以表示
- 此处给出一个内积的具体的实现,两个向量的数量积
- 数量积的定义满足:交换律,分配律,结合律
代数表示
- 设两个向量
,它们的数量积定义为:
- 这个定义满足许多基本的运算规律
从ji’he
- 设
;
- 根据向量的数量积对加法的分配律:
- 将坐标解析式带入到
,并根据分配律展开
- 其中由于
,所以
几何表示
=
余弦定理和向量数量积
- 由向量
为三角形的两边构造三角形,并设两边的夹角为
,第三条边对应的向量可设为
(或
- 可以是空间中的三角形,而未必是坐标面上的三角形,但三角形有单个点,它们一定共面,三角形也一定是平面图形
- 由余弦定理,
=
;
(1)
- 另一方面由向量模长公式可知
=
- 再由分配律(见下一节)可知
=
(2) - 比较(1),(2)可知
=
(3)
向量点积运算律
交换律
- 特别的,
时,
- 当
为单位向量时:
分配律👺
- 根据投影的分配律以及实数加法的分配律
- RHS=
- 因此LHS=RHS
- 向量分配律
结合律
- 根据数量的定义:
时,上式两边均为0
时
- 方法1:
- 所以LHS=RHS,证毕
- 方法2:
- 所以
数量积和恒力做功模型
- 数量积的定义来自于物理学中,恒力
作用于物体从
直线地移动到
所作的功的计算,记
,
利用内积判断向量间的关系
- 向量间相互垂直(正交)的可以用向量的数量乘表示:
,充要条件是
小结
- 几何表示:
,其中
- 根据给定的2个向量计算他们夹角的余弦
- 代数表示:
,则
- 数量积可以看作是向量
的模乘以向量
在向量