文章目录
概念
n维向量
- 由
个有次序的数
组成的有序数组称为n维向量,简称向量
- 数
称为向量的第
个分量
向量类型
实向量和复向量
- 分量全为实数的向量称为实向量,分量是复数的向量称为复向量(实向量是从属于复向量的)
- 这里默认讨论的是实向量
行向量和列向量
维向量可以写成一行或一列,分别称为行向量,列向量(或分别称为行矩阵,列矩阵)
- 一个
维行向量是
的矩阵
- 一个
的矩阵
- 通常以小写希腊字母,例如:
表示向量
- 也可以用小写的粗体的英文字母表示,例如:
,或粗正体
- 有时为例书写方便,可以用非粗体:
- 在按行分块和按列分块的分块矩阵中,还可能出现用大写英文字母表示列分块或行分块,例如
行列向量的转换
- 列向量可以看作行向量的转置
- 习惯上,向量通常默认指列向量,设向量包含
元素
- 列向量和行向量分别表示为
- 为了便于区分符号(文字)所表示的向量是列向量还是行向量,习惯上表示行向量的符号带上一个
上标,例如
表示列向量
的转置得到的
- 简化书写,由于列向量如果严格竖着写比较占用空间,紧凑性不好,我们可以利用转置性质:
,将列向量用行向量的转置形式书写展开式,这样行列向量也可以用横着写
特殊向量
- 分量全为0的向量称为零向量
- 零向量第
个分量改为1得到的向量是
的
向量运算
- 向量作为一种特殊的矩阵,仍然按照矩阵的运算规则运算
为向量
的负向量
矩阵的向量分块👺
解析几何向量和线性代数向量👺
- 在解析几何中,我们把"既有大小又有方向的量"叫做向量
- 把可随意平移的有向线段作为向量的几何形象
- 引进坐标系后,这种向量就有了坐标表示:
个有次序的实数数组
对应的是标量
对应于二维平面向量
对应于三维空间向量
- 当
时,
- 当
时,
向量空间
- 几何中,"空间"通常是作为点的集合,构成空间的元素是点,这样的空间叫做点空间
- 我们把
维向量的全体所组成的集合:
={
}称为3维向量空间
- 在点空间取定坐标系后,三维空间中的点
与
之间有一 一对应关系
- 因此向量空间可以类比为"取定了坐标系"的点空间
- 在讨论向量的运算时,我们把向量看作有向线段
- 在讨论向量集时,把向量
看作时
,从而把点
- 例如
,结合空间解析几何的知识,是一个平面方程的一般式,因此
是一个平面
或
- 由此,向量集
也叫做向量空间
中的平面(3维空间中的2维平面),并把
- 将
替换为
;
,则平面方程作
维向量空间
- 设集合
={
}叫做
维空间的 
维超平面
}叫做
中的
维超平面