微分中值定理

abstract

• 微分中值定理是导数应用的理论基础
• 微分中值定理的关系:

• 费马引理
• Rolle定理推出Lagrange中值定理和Cauchy中值定理

费马引理

• 设函数在点的某个邻域内有定义,并且在处可导

• 若,有(或),即是一个极值点则

• 证明:(以情形为例,另一情形类似)

• 设时,,则对于

• ,有,即

• 从而当时,;当,
• 根据函数在可导以及极限的保号性,得

• =
• =

• 所以,即

• 费马引理的简述为函数在可导区间内的极值点处的导数为0
• 导数为0的点称为驻点

罗尔定理

• 若函数满足

1. 闭区间上连续
2. 开区间内可导
3. 区间端点处的函数值相等()

• 则内至少有一点,使得
• Note:

• 区间端点处不要求可导,但是区间端点处的函数值要求相等
• 这显然是一个关于导数的定理

• 证明

• 由条件(1)和闭区间上连续函数最值定理,在闭区间上必定能取得的最值(最小值,和最大值)
• 当时,在上总取相同的数,因此其导数为0,,有
• 时,由条件(3),设,显然至少有一个不等,不妨设(即);那么开区间内有一点使得满足,
• 因此从而,总有,再有费马引理,
• Note:前面的工作在说明可导极值点存在于开区间内,最有由费马引理得证

拉格朗日中值定理(微分中值定理)

• Largrange定理是Rolle定理改进和推广的结果,它取消了Rolle定理的第一个条件,并调整了结论,具有重要地位,称为微分中值定理
• 若函数满足:

1. 在开区间上连续
2. 在开区间内可导

• 那么在内至少有一点,使得等式(0)成立

• 其中等式(0)可以变形为=(0-1)
• 若记;,,则(0)写成(0-2)的形式,该公式是的增强版本(另见有限增量定理)

• Note:

• 公式(0)也叫lagrange中值公式
• 定理中的闭区间两端点内置可能是变量,例如都是关于,的函数,

• 此时结论为内至少有一点满足=
• 通过构造合适的闭区间,可以被用来推导许多结论和不等式

分析

• 定理的结论形如通过点两点的直线的点斜式方程
• 定理的几何意义:

• 将定理的结论改写为直线斜率的形式(0-1)式
• 为曲线上的点处的切线斜率,该切线平行于弦
• 若连续曲线在弧上除端点外处处具有不垂直于轴的切线,则弧上至少有一点,使得曲线在点处的切线平行于弦

• Rolle定理中端点弦是平行于轴的,定理中的点的切线斜率为0,也平行于轴,从而也满足Largrange定理(特殊情况)

证明

• Largrange定理的证明可以基于Rolle定理进行,为此需要构造一个能够运用Rolle定理且和Largrange定理的函数相关的辅助函数
• 辅助函数的构造可以启发于Largrange定理的几何解释:

• 弦所在直线可以解释为斜率为(0-3),过点的直线,即为,变形为的形式:
• 基于直线方程(一次函数),和函数,构造辅助函数=(1),这是描述两曲线和间的差值轴方向上的差值的函数,与密切相关,且其重要特点是端点处两曲线重合,两端点处差值都为0,这符合Rolle定理的运用条件

• 由辅助函数(1)容易验证其满足的条件,且在内连续,在内可导,可运用Rolle定理
• 由(2)和Rolle定理,内至少有一点,使得,即,得,所以(0-1)成立,就有(1)成立

有限增量定理

• 设,且

• 若,则,公式(0)在区间上可改写为,(3),即对改写为的形式

• 因为,,若令,则

• 若,则,公式(0)在区间上同样可以改写为(3)

• 若记,则:==,从而式(3)可以写成,(3-1),本质上还是

• 这个表达式形似微分公式,而(是在很小时的近似值
• 公式(3-1)却给出了增量的导数和自变量增量(微分)的准确表达式,且不必取很小的值,只要是个有限增量即可,因此式(3-1)被称为有限增量公式
• 这个公式可以从几何中得到直观的解释,同样是曲线线性化,将闭区间内部的某个子闭区间再次应用Largrange的结果;从而将某两点的函数差值(增量)转换为某个线性函数两点函数值的差值(增量)来计算

• 上述结论称为有限增量定理,其基本原理来自于Largrange中值定理
• 在某些问题中,当自变量取得有限增量而需要函数增量的准确表达式时,此定理十分有用

Largrange定理和恒零导数

• 导数恒为0的函数是常数函数
• 具体地:若在区间上连续,内(不取端点)可导且导数恒为0(即,),则在区间上是一个常数
• 证明:设,设,由式(0)得=,

• 由,得,从而
• 即任意两点的函数值都相等,得任意自变量都是取同一个函数值,所以是一个常数

例

• 证明当时,不等式

• 令(0),则在区间上满足Largrange中值定理的条件,则有式(1):=,
• ,(2);(0),(2)代入(1)化简得,从而=(3)
• 由,所以式(3)可以被放大和缩小在范围:(4),将(3)代入(4),得证,

柯西中值定理

• ref:柯西中值定理

用微分中值定理来解决问题

• 为了使用微分中值定理推导某些结论或解决某些问题,往往需要构造一个符合某个微分中值定理的函数(即,构造满足条件的辅助函数)
• 罗尔中值定理:基本的中值定理

• 条件最为苛刻,但是可以用来证明拉格朗日中值定理

• 通过构造满足罗尔中值定理条件的辅助函数,将问题化归为罗尔中值定理能够解决的情形
• 从而得到更具一般性的结论

三个定理的共同条件

• Rolle 中值定理和Lagrange中值定理以及Cauchy中值定理都要求被研究的对象在给定闭区间内连续,并且在相应的开区间内可导

利用微分中值定理证明不等式

• 利用所处的区间来构造不等式,以便使用对应的微分中止定理来证明一些不等式,区间中的端点可以是变量(譬如区间)
• 再将需要证明范围的函数使用一个包含以及区间的端点构造出不等式