文章目录
- abstract
- 两种余项型泰勒公式的对比和总结
- Maclaurin公式
- 常用函数的Maclaurin公式
- 推导
- 例
- 求极限
- 按幂展开
abstract
- 泰勒公式的两种余项型(Penao&Lagrange)泰勒公式的对比和总结
- 常用的Maclaurin公式列举(Peano余项型为主)
两种余项型泰勒公式的对比和总结
Taylor公式 |
Lagrange型 |
Peano项 |
Note |
条件 |
|
|
前者对 |
余项 |
|
|
前者余项具体,后者仅表达了高阶无穷小 |
用途 |
可用于区间 |
仅用于 |
后者用在某些条件下的求极限问题上,可以带来方便 |
Maclaurin公式
- 这里主要讨论Peano型Maclaurin公式(一般不要求计算误差精度,Peano型足够使用)
=
+
+
+
(1),两种余项分别为:
=
(1-1)或
,
(1-2)
常用函数的Maclaurin公式
- 主要掌握展开公式的前几项(2到5项,一般3项)就足够一般的应用,
- 只要知道公式
(1),和的高阶导数,在必要的时候可以自行计算更多的项
=
+
=
+
+
+
=
+
+
=
+
+
=
+
+
- 其中偶(奇)函数的展开式也是偶(奇)函数
- 上述公式3,4有时也写作
=
+
+
+
- 余项前的一项的幂是奇次幂
即可(
或
),Peano余项的幂次数可以
或
=
+
+
- 余项前的一项的幂是偶次幂,通常表示为
,Peano余项的幂次数可以是
或
- 其中余项不是
的公式都是经过简并后的公式(把值为0的项隐后剩下的项重新编排
)
- 注意到,上述公式挂等号的前提是带上余项,反之,带上余项的展开式可以直接被展开函数参与某这些运算(比如求极限)
推导
- 按照
阶导数公式和
- 以
为例推导:
=
=
;
(2-1)=
=
(2-2)
0 |
0 |
1 |
|
2 |
0 |
3 |
-1 |
4 |
0 |
5 |
1 |
6 |
0 |
根据上述列举和三角函数的知识可知,,
会循环得取4个数
,j记为序列
(S1)有Maclaurin公式可知,的项也是0,这些项可以被简并不写
- 这样一来,由序列(S1),保留下来的项的幂的次数就不是连续的了,相邻项的次数相差2而不是1
- 不妨设
=
,
- 前
个非0项分别为
,
都是非0项
- 另一方面,
都是0
=
即消去0项之前,
阶泰勒多项式和
阶泰勒多相式相等(余项可以表示为
- 为了便于讨论,将
消去0项后的公式记为
=
的项,第
项记为
,它们全部对应于非零项,并且容易归纳出:
的通项
,次数
表示该项对应于
项则是零项
- 此时将
- 取
,可以得到
+
(3)
- Lagrange余项:由式(1-2),(2-1),可知
=
(4)
=
=
- 当
为奇数时,
=
=
=
- 当
=
- 可以用
归纳上述符号变化,从而
- 从而
=
,
(4-1)
- 若取
,得近似公式
- 代入(4-1),可知,此时误差为
,其中
- 若
,则可得到
次泰勒多项式
,误差
- 若
,则可得
次泰勒多项式
,误差不超过
例
求极限
- 求
=A
- 用
替换分母
- 解法1:利用等价无穷小替换分母,在利用洛必达法则求解
- 解法2:利用带有Peano余项的Maclaurin公式
;
;
- 于是
=
=
的高阶无穷小
之间的和差运算结果仍然是
=0)
=
按幂展开
的按
的升幂展开(升幂排列)
- 即按
的展开,
,得到
=
=
- 计算
;
- 由于
是个
次的多项式,其泰勒展开也是3次的
,
=
- 所以
+
+
=