文章目录

• abstract
• 本文符号说明
• 无穷小

• 无穷小和自变量变化过程
• 无穷小和函数极限的关系定理👺

• 证明

• 无穷大

• 无穷大不是数
• 极限无穷大的说法
• 证明函数极限为无穷大

• 无穷大和无穷小见的关系定理
• 无穷小@无穷大的运算法则

abstract

• 无穷小和无穷大的概念和相关性质

本文符号说明

• 自变量趋于(表示有限值,或无穷)的变化过程表示:或

无穷小

• 若函数,则称为时的无穷小

• 特别地,以0为极限的数列称为时的无穷小
• 从定义可以看出,无穷小是对具有某种性质的函数的称呼,而不是指很小(无穷小)的数

• Note:

• 记无穷小为.无穷小的精髓在于,的极限过程中可以无限接近0,即小于任意给定的正数
• 可见,任何非0的常数(或者常数函数都无法做到这一点
• 而常数(或者)可以满足无穷小的条件,因此是无穷小,并且在任意极限过程都是无穷小,因此有特殊地位
• 无穷小可以称为无穷小函数,更具体地称过程的无穷小函数
• 有些函数不可能是无穷小,例如,其定义域内任何自变量过程的函数极限不小于1

• 例:,所以是时的等价无穷小

无穷小和自变量变化过程

• 以外的任何无穷小都有其对一个的变化过程
• 这和极限相仿,提到极限一定有其对应的自变量变化过程
• 无穷小参与运算或构成的式子中,要有一致的自变量变化过程
• 无穷小是函数,因此也可以和其他一般函数一起构成其他函数解析式,只不过无穷小要强调趋于0时对应的自变量变化过程,脱离了变化过程,某些相关等式不再成立

无穷小和函数极限的关系定理👺

• 在自变量的同一个变化过程中,函数具有极限的充要条件是,是无穷小

• 其中是函数而不是常数

证明

• 以为例,主要采用极限和无穷小的定义进行推理(类似)
• 必要性:设,

• 则由极限定义:,,当时,有;
• 令,则,即所以极限定义,
• 所以是时的无穷小,且
• 或者说,等于它的时的极限与一个无穷小之和,其中可以取
• Note:

• 从极限运算的角度:则====0也可说明是时的无穷小

• 充分性:设=(1),其中是常数,是时的无穷小

• 定义法证明

• 显然
• 因为所以,,当时,,即
• 所以

• 极限运算法:对(1)两边取极限:==+==

无穷大

• 若时,可以大于预先给定的任意大正数,则是时的无穷大
• 或者精确地说:

• 设在的某个去心领域(或)内有定义
• 若,(或),当或(),总有,则称是(或)时的无穷大

无穷大不是数

• 无穷大不是数,不同于很大的数(常数),而是强调自变量极限变化过程的函数,且时函数值要多大有多大

极限无穷大的说法

• 按照函数极限的定义,时是无穷大的函数的极限是不存在的(无穷大不是数)
• 为了便于叙述函数的这一性态,也称呼为函数的极限是无穷大的
• 总之:极限无穷大仍要归为极限不存在的大类当中,

• "极限无穷大"是"极限不存在且函数值趋于无穷"的简称
• 记为
• 例

• ,
• ,

• 若将定义中的替换为(或),则记为

证明函数极限为无穷大

• 极限无穷大本质上是极限不存在的情况,因此和证明极限存在时的情形有所不同,这里不再借助来刻画时函数和有限且确定的极限值无限接近,而采用来体现时的无穷大含义
• 证明的思路是,设,,当(满足)(或)时(1)

• 从(1)求出的取值范围并选定一个确定的值(或),来说明在时要多大有多大,即

• 例

• 令证明
• 证明:设,令,即,即
• 令,则当满足时有成立,从而
• 可见时函数的图形的铅直渐近线

无穷大和无穷小见的关系定理

• 在自变量的同一个变化过程中,函数为无穷大,则是无穷小;

• 反之,若是无穷小,且,则为无穷大

• 证:以为例(类似)

• 设,则,,当时,有
• 则,令,因为可以取任何正数,所以也可取任何值,且总有,从而
• 隐去细节的紧凑版本:,对于,,当时,,即,所以
• 反之,设,且

• ,根据无穷小的定义,对于,,当,
• 由于当时,从而
• 所以

无穷小@无穷大的运算法则

• 参见极限的运算法则