文章目录

• abstract
• 显函数
• 隐函数

• 隐函数显化

• 隐函数求导
• 对数求导法

• 幂指函数求导
• 乘法链函数及其分式函数求导
• 例子

• 例
• 例
• 例
• 例

• 参数方程确定的函数及其导数

• 引言
• 参数方程确定的函数

• 例

• 参数方程确定的函数的导数
• 参方函数的二阶导数
• 例子

• 例
• 例

• 极坐标曲线某点的导数

abstract

• 显函数和隐函数

• 一个函数可以有不同的表示方式,而公式法中又有不同的方式描述同一个函数,例如表示成显函数或者隐函数
• 然而某些函数只能表示成隐函数(难以显化)

• 隐函数求导
• 参数式函数求导

显函数

• 函数(0)表示两个变量之间的对应关系,其中分别称为因变量和自变量
• 等号左端的是因变量符号,而等号右端是含有自变量的式子,当自变量取定义域内任一值时,该式子能确定对应的函数值,这种方式表达的函数称为显函数
• 例如函数(f1)

隐函数

• 一般地,若变量满足一个方程(1),在一定条件下,当取区间内的任一值时,相应地总有满足这个方程地唯一的值存在,那么说方程(1)在该区间内确定了一个隐函数
• 方程(1)也可以表示为
• 例如(f2),

隐函数显化

• 将一个隐函数(1)化为显函数(0),称为隐函数的显化
• 不是所有隐函数都容易或能够显化,但由于函数的定义,存在确定关系,方程(1)所确定的隐函数仍然可以表示为(或设为)显函数的形式:

隐函数求导

• 虽然隐函数不一定能显化,但我们还是希望能够对隐函数求导
• 通常的办法是对隐函数两边对自变量求导
• 若方程包含的式子或者项记为,则将其对求导应视为复合函数求导:对求导的导数:=
• 例如对求导:
• 而隐函数高阶导类似的,继续对方程两边求导,必要时将一阶导的结果代入二阶导的算式中

对数求导法

• 对两边同时取对数,在求出的导数

幂指函数求导

• 这种方法经常用在包含幂指函数的方程中简化求导过程

• ,都可导

• 
• =

• =

• 另一种操作手法是将幂指函数变形为指数函数=

• 这种手法将幂指函数处理成复合函数,运用复合函数求导法也可得到上述结论

乘法链函数及其分式函数求导

• 另一类形是多项式(因式分解形式):,对其两边取对数,==

• 这使得乘积函数函数变成加和形式,因而求导更加方便:
• =

• 依然有效:

• 

• 这种方法不仅可以用于幂指型隐函数和显函数求导(注意根式也时幂的一种表现形式)

例子

例

• 以求的导函数为例,使用对数求导法(伯努利求导法)
• ,两边取对数
• 两边同时对求导,,整理:即,

例

• 所确定的隐函数的导数
• 两边求导,得;整理可得,

例

• ,

• =
• 
• ===

• 若将展开为多项式形式,结果也是一样的,只不过当乘积项较多时,对数求导法会更加简单

例

• ,=的导数

• 令分别为,,,

• 当,则

• 两边取对数=
• 两边对求导:即

• 当时,和第一种情形相同
• 当,时,,和第一种情形相同
• 若,,此时,不能直接用对数求导法

• 但是,则,可以用对数求导法求出,从而

参数方程确定的函数及其导数

引言

• 从研究物体运动的轨迹开始引入参数方程
• 以抛射运动为例,抛射体的运动轨迹表示为方程组(1):

• (1-1)
• (1-2)

• 其中分贝时抛射体速度的水平和铅直方向的分量;时重力加速度,是飞行时间
• 而分别是抛射体在铅直品面上的位置的横坐标和纵坐标
• 方程组(1)中,都是关于变量的函数,可以分别记为;为了便于讨论和区分,将函数的映射符号使用和因变量相异的符号,表示为方程组(2):

• ,(2-1)
• (2-2)

参数方程确定的函数

• 若把对应于同一个的看作是对应的,那么就得到之间的函数关系
• 一般地,若参数方程(2)确定间的函数关系,则称此函数关系所表达的函数为方程(2)所确定的函数(简称参方函数)
• 参数方程(2)中的参数是,变量是;将参数方程化为一般方程不总是容易进行的,一般的转化方法如下(消去参数):

• 设具有单调连续反函数
• 并设的反函数为(3)
• 将(3)代入,得(4);这就是说,参方函数可以看作是的复合函数

• 有时参数难以消去

例

• 引言例中,的表示:

• 由=,得=
• 代入得

参数方程确定的函数的导数

• 尽管参方函数不总便于化为一般函数,但是我们可以对参方函数进行求导
• 为了计算复合函数(4)的导数,需要假定(2-1),(2-2)都可导,且
• 于是根据复合函数的求导法则与反函数的求导法则,得得导数:
• ==(5)

• 方法1:分式上下同时除以

• =(5-1)

• =

• 方法2:配项,再变形

• = =(5-2)

• =

• 公式(5)就是方程组(2)确定的函数的关于的函数的导数公式

参方函数的二阶导数

• 若方程组(2)中的方程还都是二阶可导的,则

• ==(6)

• = (6-0)
• = (6-1)
• = ,其中==(6-2)
• =(6-3)

• 公式(6)就是参方函数的二阶导公式,重要的是式(6-0)处的配项,

• 公式(6-3)不需要记忆
• 记住公式(6-1)的手法即可

例子

例

• 某椭圆的参数方程为,
• 求椭圆在相应点处的切线方程
• 解

• 代入得点
• 处斜率为==

• 直线点斜式方程=,即

例

• 摆线参数方程;所确定的函数的二阶导数

• 可以直接套用二阶导公式,也可逐步求导
• 逐步求导法:

• ===

• ,即

• ====,

极坐标曲线某点的导数

• 将极坐标曲线:化为直角坐标的参数方程:

• ;
• 在利用参数方程求导法求导==

• 极坐标上的曲线对应的直角坐标参数方程为

• =
• 
• =