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• 由极限的两个存在准则(定理)推导的两个重要极限

第一重要极限

• 将任意角放在单位圆上讨论

• 对于对于一切都有定义
• 设单位圆圆心和任意角的始边重合,始边和终边分别交单位圆于

• 因为任意角总是可以通过诱导公式转换为锐角计算其三角函数值,不妨设角
• 构造正弦线和正切线以及弧度线:

• 正弦线:过点作交于于,则为正弦线:
• 正切线:点处的切线和延长线交于,则AD就是正切线:
• 由角弧度和半径的关系,

• 令分别表示:三角形,扇形,三角形,并用表示图形的面积
• 则;;
• 显然,从而
• 即(0)

• 不等号各边同除以,有,从而,(1)
• 都是偶函数,从而内,;不等式(1)仍然成立
• 所以,或

• 时,,
• 欲证,可构造,而证,或
• 所以
• =<=
• 即
• 显然,有夹逼准则,,所以
• 又因为,,所以由夹逼准则,

例

• 令,从而
• =

第二重要极限

• 设,则单调有界
• ==

单调性

• 由二项式定理:

• =

• =++++
• =++++

• 则=++++
• 的前2项相等,后续的第项的总是要大于的,并且的项数比的项要多一项大于0的项,所以;
• 说明数列是单调递增的

有界性

• 通过放缩的展开式中的项确定某个上限

• 展开式中,所以
• 又,即,(,)
• ===

极限存在

• 根据单调有界极限存在定理(准则),极限存在,这个值是个实数,不容易用十进制数表示
• 通常将这个极限记为,即,即

推广到函数极限

形式推广

• 上述是的过程的极限,利用变量代换,,即,过程对应的过程
• 则=
• 更一般的,在自变量的某个变化过程中,若是无穷小量,即,则,简记为

型幂指函数的极限

分离常数变形

• 有时,需要使用分离常数的技巧将函数的形式转换为的形式,

• 例如:

速算结论

• 如果判断出的某个过程的极限属于型的情况下求极限,则可以按如下步骤求解

1. 先计算出
2. 那么:,也即是说,结果是的幂的形式

证明

• 设分别极限过程的无穷小量和无穷大量,即,
• ;=
• ====
• 记,则

例

• 以下3个的型极限都可以用模型法来计算,先确定

• 分别计算

• ,,

传统逐步演算

• ====
• == =
• = ===