的复合函数。它的定义域为${x|x\in D_{g},g(x)\in D_{f}}$
注:不是任何两个函数都可以复合,如$$y=f(u)=\ln u,u=g(x)=\sin x-1$$就不能复合,这是由于$D_{f}=(0,+\infty),R_{g}=[-2,0],D_{f}\cap R_{g}=\varnothing$
3. 反函数
定义3:设函数$y=f(x)$的定义域为$D$,值域为$R_{y}$。若对任意$y\in R_{y}$,有唯一确定的$x\in D$,使得$y=f(x)$,则记为$x=f^{-1}(y)$称其为函数$y=f(x)$的反函数(即$f$为单射)
反函数$\Leftrightarrow \forall x_{1}\ne x_{2}\in D$,有$f(x_{1})\ne f(x_{2})\Leftrightarrow f$是一一映射
注:
-
不是每个函数都有反函数,如$y=x^{3}$有反函数,而$y=x^{2}$没有反函数
-
单调函数一定有反函数,但反之则不然,如 $$f(x)=\begin{cases}x,0\leq x<1\3-x,1\leq x\leq2\end{cases}$$有反函数
-
有时也将$y=f(x)$的反函数$x=f^{-1}(y)$写成$y=f^{-1}(x)$
在同一直角坐标系中,$y=f(x)$和$x=f^{-1}(y)$的图形重合
作为函数,$x=f^{-1}(y)$和$y=f^{-1}(x)$是同一函数
$y=f(x)$和$y=f^{-1}(x)$的图形关于直线$y=x$对称**
- $f^{-1}[f(x)]=x,f[f^{-1}(x)]$
把$f$看做映射关系,即把$D$映射到$R_{f}$,再映射回$D$**
例3:求函数$y=\text{sh}x=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}$的反函数
步骤:
-
反解
-
$x$与$y$对调
由$y=\text{sh}x=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}$知
$$e^{2x}-2ye^x-1=0$$
解得$$e^{x}=y\pm\sqrt{1+y^{2}}$$
又$\because e^{x}>0$,可得
$$e^{x}=y+\sqrt{1+y^{2}}$$
$$x=\ln(y+\sqrt{1+y^{2}})$$
则函数$y=\text{sh}x=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}$的反函数为$y=\ln (x+\sqrt{1+x^{2}})$
4. 初等函数
定义4:将幂函数,指数,对数,三角,反三角统称为基本初等函数。了解它们的定义域,性质,图形
幂函数:$y=x^{\mu}$($\mu$为实数)
指数函数:$y=a^{x}(a>0,a\ne1)$
对数函数:$y=\log_{a}x(a>0,a\ne1)$
三角函数:$y=\sin x,y=\cos x,y=\tan x,y=\textup{cot } x$
反三角函数:$y=\arcsin x,y=\arccos x,y=\arctan x$
定义5:由常数和基本初等函数经过有限次的加、减、乘、除和符合所能得到且能用一个解析式表示的函数,称为初等函数
二、函数的性质
1. 单调性
定义1:如果对于区间$I$上的任意两点$x_{1}<x_{2}$恒有$$f(x_{1})<f(x_{2})\text{,单调增加}$$ $$f(x_{1}>f(x_{1})\text{,单调减少}$$
2. 奇偶性
定义2:设$y=f(x)$的定义域$D$关于原点对称,$\forall x\in D$ $$f(-x)=f(x)\text{,偶函数}$$ $$f(-x)=-f(x)\text{,奇函数}$$
注:
- **奇函数:$\sin x,\tan x,\arcsin x,\arctan x,\ln\frac{1-x}{1+x},\ln(x+\sqrt{1+x^{2}}),\frac{e^{x}-1}{e^{x}+1},f(x)-f(-x)$
偶函数$x^{2},|x|,\cos x,f(x)+f(-x)$**
-
奇函数的图形关于原点对称,且若$f(x)$在$x=0$处有定义,则$f(0)=0$;偶函数的图形关于$y$偶对称
-
**奇+奇=奇;偶+偶=偶
奇$\times$奇=偶;偶$\times$偶=偶;奇$\times$偶=奇**
例4:证明$f(x)=\ln (x+\sqrt{1+x^{2}})$是奇函数
由于
$$ \begin{aligned} f(-x)&=\ln(-x+\sqrt{1+x^{2}})\ &=\ln\frac{1}{x+\sqrt{1+x^{2}}}\ &=-\ln(x+\sqrt{1+x^{2}})=-f(x) \end{aligned} $$
则$f(x)=\ln (x+\sqrt{1+x^{2}})$是奇函数
双曲正弦的反函数是奇函数
3. 周期性
定义3:若存在实数$T>0$,对于任意$x$,恒有$f(x+T)=f(x)$,则称$y=f(x)$为周期函数。使得上式成立的最小整数$T$称为最小正周期,简称为函数$f(x)$的周期
注:
-
$\sin x,\cos x,\sin^{2k-1}x(k=1,2,\cdots)$周期为$2\pi$;$\sin 2x,|\sin x|,\sin ^{2k}x(k=1,2,\cdots)$周期为$\pi$
-
若$f(x)$以$T$为周期,则$f(ax+b)$以$\frac{T}{|a|}$为周期
4. 有界性
定义4:若存在$M>0$,使得对任意的$x\in X$,恒有$|f(x)|\leq M$,则称$f(x)$在$X$上的有界函数
如果对任意的$M>0$,至少存在一个$x_{0}\in X$,使得$|f(x_{0})|>M$,则$f(x)$为$X$上的无界函数
注:
-
一般地,说$f(x)$函数为有界函数,是指$f(x)$在定义域上有界
-
常见的有界函数$|\sin x|\leq1;|\cos x|\leq1;|\arcsin x|\leq \frac{\pi}{2};|\arctan x|< \frac{\pi}{2};|\arccos x|\leq \pi$
例5:证明函数$f(x)=x\sin x$是无界函数
由于
$$f(2n\pi+\frac{\pi}{2})=2n \pi+\frac{\pi}{2}$$
所以,对于任意的$M>0$,只要正整数$n$充分大,总有
$$|f(2n\pi+\frac{\pi}{2})|=2n \pi+ \frac{\pi}{2}>M$$
故函数$f(x)=x\sin x$是无界函数
练习
例6:设$f(x)=\begin{cases}1,|x|\leq1\0,|x|>1\end{cases}$,则$f[f(x)]$等于()
做法:内层函数的函数值,落在外层函数定义域的哪个范围内就代入哪个函数
$$f[f(x)]=\begin{cases}1,|x|\leq1\0,|x|>1\end{cases}$$
即$f[f(x)]=1$
例7:已知$f(x)=\sin x,f[\phi(x)]=1-x^{2}$,则$\phi(x)=$()的定义域为()
由$f(x)=\sin x,f[\phi(x)]=1-x^{2}$,知\
$$\sin \phi(x)=1-x^{2}$$
$$\phi(x)=\arcsin(1-x^{2})$$
这里
$$|1-x^{2}|\leq1$$
由此解得
$$-\sqrt{2}\leq x\leq \sqrt{2}$$
此处有$f(x)=\sin x$,可以这样看$f(*)=\sin $,所以$f[\phi(x)]=\sin \phi(x)$,就是把$\phi(x)$看做$$