文章目录
- 二次型的标准形🎈
- 标准形的矩阵式
- 标准化问题(合同对角化)
- 二次型标准化分析🎈
- 二次型可标准化定理
- 正交相似角度证明
- 配方角度证明
- case1
- 方法1:
- case2
- 方法2
- case2
- case3
二次型的标准形🎈
- 如果二次型只含有变量的平方项,则称之为二次型的标准形或法式,即
=
标准形的矩阵式
- 可见,标准形的矩阵是对角阵
- 对角阵的秩
等于
中的非零值个数,
标准化问题(合同对角化)
- 结合标准形的矩阵式可知,“二次型
经过某个可逆变换
变成标准形”,就是要使线性变换后的二次型
中的
变成一个对角阵
,也就是将
合同对角化
- 更进一步地,将
地元素
处理成
中的元素,称为规范化,详见规范化一文
- Note:合同对角化不是相似对角化
二次型标准化分析🎈
- 如果存在某个可逆阵
使得
即
- 或者说,能够找到可逆矩阵
,使得线性变换
,能够将二次型
,其中
二次型可标准化定理
正交相似角度证明
- 由于任意对称阵都合同于某个对角阵,又二次型
的矩阵一定对称阵,所以任何二次型都可以标准化
- 总结为定理:任意二次型
总有正交变换
,且
是
- 因为
是正交阵
,所以相似对角化等价于合同对角化:若
,则
- 因此,掌握了对称阵的相似对角化,也就能够通过求解使
相似对角化的可逆矩阵
配方角度证明
- 数域
上任意一个二次型都可以经过非退化(可逆的)线性替换变成平方和形式(标准形)
- 以下证明给出来了一个具体地把二次型化为平方和的方法,和中学里的配方法一样
- 对变量的个数
作数学归纳法
- 对于
,二次型
,其已经是标准形了
- 现假设
元的二次型定理成立;并设
元的二次型为
=
,
- 以下分情况讨论
case1
中至少含有一个平方项:
,
- 归并所有含有
的项
- 显然
包含
个不可合并项
- 然后进行配方
- 令
,
;
- 则
- 这就将
都是关于
的
元二次型,且
包含了所有
之外的所有平方项
- 由归纳假设可知
可以被标准化
也可以被标准化
- 为了讨论和书写方便,不妨设
,代表这一类情况
- 配方
- 令
- 其中
,
是关于
的
元二次型
- 从而
也是关于
- 构造线性变换
- 变换矩阵:
- 显然
,是个可逆变换
- 其逆变换
(将后
个方程即得)
- 则该变换能使
- 根据归纳假设,
可以被标准化,即存在可逆线性变换
(1):
- 此变化能使
=
=
- 此时
- 基于
(1)追加一条变换:,得到
元变换
(2):
- 线性变换
(2)能将化为标准形
- 由归纳法原理,定理在case1成立
方法1:
case2
- 若
的系数
,
),但至少存在一个
,
- 则构造关于
的线性变换
,
,
- 易知该变换矩阵是一个上三角形,其对角线元素之积为1,从而可逆
- 变换{T}能使:
,即非平方二次项化为平方项组合
- 从而
=
=
=
- 所以:
=
=
- 这种变换的意义在于将无平方项二次型转换为有平方项二次型,从而将问题转换为第一类情况(case1),即这类二次型仍然可以标准化,即定理在case2也成立
方法2
case2
- 为了方便讨论,不妨再细分为两种子情况,cases2研究第一种,第2种放到caes3中讨论
- 若
,更进一步地,可以设
,这种假设仍然不失一般性
- 执行可逆变换{T}:
- 易知该变换矩阵是一个上三角形,其对角线元素之积为1,从而可逆
- 变换{T}能使:
,即非平方二次项化为平方项组合
- 从而
=
=
=
- 所以:
=
=
case3
- 延续cases2中假设
,cases3研究其互斥的情况:
- 若
,
- 根据二次型矩阵的对称性,
,
- 从而
,这是一个
元的二次型,根据归纳假设,它能够标准化