一、微分中值定理

定理1（费马引理）：如果函数$f(x)$在$x_{0}$处可导，且在$x_{0}$处取得极值，那么$f'(x_{0})=0$

 

定理2（罗尔定理）：

若

• $f(x)$在$[a,b]$上连续

• $f(x)$在$(a,b)$可导

• $f(a)=f(b)$

 

则存在$\xi\in(a,b)$，使$f'(\xi)=0$

 

定理3（拉格朗日中值定理）：

若

• $f(x)$在$[a,b]$上连续

• $f(x)$在$(a,b)$可导

 

则存在$\xi\in(a,b)$，使

$$

\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(\xi)

$$

 

定理4（柯西中值定理）：

若

• $f(x),F(x)$在$[a,b]$上连续

• $f(x),F(x)$在$(a,b)$可导，且$F'(x)\ne0$

 

则存在$\xi\in(a,b)$，使

$$

\frac{f(b)-f(a)}{F(b)-F(a)}=\frac{f'(\xi)}{F'(\xi)}

$$

 

微分中值定理本质上是为了建立导数与函数的联系，因此题目中如果都是函数的条件，问导数，或者反过来，考虑使用微分中值定理

 

定理5（皮亚诺型余项泰勒公式）

设$f(x)$在$x_{0}$点$n$阶可导，那么

$$

f(x)=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})+\cdots+\frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^{n}+R_{n}(x)

$$

其中

$$

R_{n}(x)=o(x-x_{0})^{n},(x\to x_{0})

$$

若$x_{0}=0$，则得麦克劳林公式

$$

f(x)=f(0)-f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^{2}+\cdots+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^{n}+R_{n}(x)

$$

 

定理6（拉格朗日型余项泰勒公式）：

设$f(x)$在喊$x_{0}$的区间$(a,b)$内$n+1$阶可导，那么对$\forall x\in(a,b)$，至少存在一个$\xi$，使

$$

f(x)=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})+\cdots+\frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^{n}+R_{n}(x)

$$

其中

$$

R_{n}(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_{0})^{n+1},\xi在x_{0}和x之间

$$

 

泰勒公式本质上建立了函数与高阶导数的关系，并且利用多项式逼近$f(x)$

 

皮亚诺型用于研究函数的局部形态，例如极限、极值；拉格朗日型用于研究函数的整体形态，例如最值、不等式

 

$$

\begin{aligned}

e^x&=1+x+\frac {x^2}{2!}+\cdots+\frac {x^n}{n!}+o(x^n)\

\ln(1+x)&=x-\frac12x^2+\frac13x^3-\cdots+(-1)^{(n-1)}\frac1nx^n+o(x^n)\

(1+x)^\alpha&=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2+\cdots+\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}x^n+o(x^n)\

\sin x&=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots+(-1)^{n-1}\frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!}+o(x^{2n-1})\

\cos x&=1-\frac1{2!}x^2+\frac1{4!}x^4-\cdots+(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}+o(x^{2n})

\end{aligned}

$$

 

二、导数应用

单调性

定理7（函数的单调性）：

设$f(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导

• 若在$(a,b)$内$f'(x)>0$，则$f(x)$在$[a,b]$上单调增

• 若在$(a,b)$内$f'(x)<0$，则$f(x)$在$[a,b]$上单调减

 

极值

定义（函数的极值）：

若$\exists \delta>0$，使得

• $\forall x\in U(x_{0},\delta)$恒有$f(x)\geq f(x_{0})$，则称$f(x)$在$x_{0}$取得极小值

• $\forall x\in U(x_{0},\delta)$恒有$f(x)\leq f(x_{0})$，则称$f(x)$在$x_{0}$取得极大值

 

在端点处不能取得极值，极值的定义是邻域

 

定理8（极值的必要条件）：

若$f(x)$在$x_{0}$处可导，且在$x_{0}$处取得极值，则$f'(x_{0})=0$

 

导数值等于零的点被称为驻点

 

极值不一定是驻点，例如，对于$|x|$，当$x=0$时，是极值点但不是驻点

驻点不一定是极值点，例如，对于$x^{3}$，当$x=0$时，是驻点但不是极值点

因此，极值点只可能在$f'(x_{0})=0$或$f'(x_{0})$不存在的点

 

定理9（极值的第一充分条件）：

设$f(x)$在$\mathring{U}(x_{0},\delta)$内可导，且$f'(x_{0})=0$（或$f(x)$在$x_{0}$处连续）

• 若$x<x_{0}$时，$f'(x)\geq0$；$x>x_{0}$时，$f'(x)\leq0$，则$f$在$x_{0}$处取极大值

• 若$x<x_{0}$时，$f'(x)\leq0$；$x>x_{0}$时，$f'(x)\geq0$，则$f$在$x_{0}$处取极小值

• 若$f'(x)$在$x_{0}$的两侧不变号，则$f$在$x_{0}$无极值

 

该定理可以用于$f'(x_{0})=0$，还可以是在$x_{0}$处导数不存在，但是函数连续，例如$|x|$当$x=0$时，依旧可以使用

 

定理10（极值的第二充分条件）：

设$f'(x_{0})=0,f''(x_{0})\ne0$

• 当$f''(x_{0})<0$，$f(x)$在$x_{0}$处取极大值

• 当$f''(x_{0})>0$，$f(x)$在$x_{0}$处取极小值

 

最值

求连续函数$f(x)$在$[a,b]$上的最值

1. 求出$f(x)$在$(a,b)$内的驻点和不可导的点$x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}$

2. 求出函数值$f(x_{1}),f(x_{2}),\cdots,f(x_{n}),f(a),f(b)$

3. 比较以上各点函数值

 

注：若连续函数$f(x)$在$(a,b)$内仅有唯一极值点，则不需要作比较

 

对于最大最小值的应用题，在上述步骤之前建立目标函数即可

 

凹凸性

定义3：

凹

$$

f( \frac{x_{1}+x_{2}}{2})<\frac{f(x_{1})-f(x_{2})}{2}

$$

凸

$$

f( \frac{x_{1}+x_{2}}{2})>\frac{f(x_{1})-f(x_{2})}{2}

$$

 

定理11：

若区间$I$上$f''(x)>0$，则曲线$y=f(x)$在$I$上是凹的

若区间$I$上$f''(x)<0$，则曲线$y=f(x)$在$I$上是凸的

 

定义4（拐点）：

曲线上凹凸性发生变化的点

 

极值点只有$x$值，拐点是个坐标

 

拐点判定（必要条件与充分条件），只需要将极值点的定理关于导数抬高一阶即可

 

定理12（拐点的必要条件）：

设$y=f(x)$在点$x_0$处二阶可导，且点$(x_0,f(x_0))$为曲线的拐点，则$f''(x_0)=0$

 

定理13（拐点的第一充分条件）：

设$y=f(x)$在点$x_0$的某去心领域内二阶可导，且$f''(x_0)=0$（或$f(x)$在$x_0$处连续）

• 若$f''(x)$在$x_0$的左、右两侧异号，则点$(x_0,f(x_0))$是曲线$y=f(x)$的拐点

• $f''(x)$在$x_0$的左、右两侧同号，不是拐点

 

定理14（拐点的第二充分条件）：

设$y=f(x)$在点$x_0$处三阶可导，且$f''(x_0)=0$，若$f'''(x_0)\ne0$，则点$(x_0,f(x_0))$是曲线$y=f(x)$的拐点

 

渐近线

若

$$

\lim_{x\to \infty}f(x)=A(\lim_{x\to -\infty}f(x)=A或\lim_{x\to +\infty}f(x)=A)

$$

那么$y=A$是曲线$y=f(x)$的水平渐近线

 

水平渐近线判断有无，先看有没有无穷函数

 

若

$$

\lim_{x\to x_{0}}f(x)=\infty

$$

那么$x=x_{0}$是$y=f(x)$的垂直渐近线

 

若

$$

\lim_{x\to \infty}\frac{f(x)}{x}=a,b=\lim_{x\to \infty}(f(x)-ax)

$$

那么$y=ax+b$是$y=f(x)$的斜渐近线

 

对于$-\infty$和$+\infty$，如果某一侧已经存在水平渐近线或斜渐近线，则该侧不会出现另一种渐近线

 

函数作图

1. 定义域

2. 一阶导数确定单调区间，确定极值

3. 二阶导数确定凹凸区间，确定拐点

4. 渐近线

 

曲线的弧微分与曲率

直角坐标系下的曲率公式

$$

K=\frac{|y''|}{(1+y'^{2})^{\frac{1}{2}}}

$$

 

曲率半径

$$

R=\frac{1}{K}

$$

 

常考题型与典型例题

求函数的极值和最值及确定曲线的凹项和拐点

例1：设函数$f(x)$在$(-\infty,+\infty)$内连续，判断$x=0$处是否是极值

 

 

由于$f'(x)$在$x=0$处无定义，因此$x=0$处可能是极值点

又因为**$f(x)$在$(-\infty,+\infty)$内连续**，有$x-0>0,x+0<0$，即两端导数值变号，因此是极大值点

 

例2：已知$f(x)$在$x=0$的某个邻域连续，且$f(0)=0,\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)}{1-\cos x}=2$，判断在点$x=0$处$f(x)$是否可导，是否是极值

 

由题意知

$$

2=\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{\frac{1}{2}x^{2}}=2\lim_{x\to0}(\frac{f(x)}{x}\cdot \frac{1}{x})

$$

显然$\lim\limits_{x\to0}\frac{1}{x}\to \infty,\lim\limits_{x\to0}(\frac{f(x)}{x}\cdot \frac{1}{x})\to1$，则$\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)}{x}\to0$

根据$f(0)=0$，又有

$$

f'(0)=\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x}\to0

$$

因此$x=0$处$f(x)$可导，导数为$0$

$$

\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{1-\cos x}=2>0

$$

根据极限的保号性，在$0$的一个小去心邻域内

$$

\frac{f(x)}{1-\cos x}>0\Rightarrow f(x)>0=f(0)

$$

因此$x=0$处为极小值

 

例3：设$f(x)=|x(1-x)|$，判断$x=0$处是否是$f(x)$的极值点、拐点

 

$$

f(x)=\begin{cases}

-x(1-x)&,x<0 \

x(1-x)&,x\geq0

\end{cases}

$$

（注意此处只需要写$x=0$附近的分段函数，其他不关注）

显然$f(x)$在$x=0$处连续

$$

f'(x)=\begin{cases}

-1+2x&,x<0 \

1-2x&,x>0

\end{cases}

$$

（注意此处不需要关注$x=0$处的$f'(x)$值，如果保证函数在极值点可能出现的附近区域连续，则只需要判断该点去心邻域$f'(x)$的正负）

显然是极小值

$$

f''(x)=\begin{cases}

2&,x<0 \

-2&,x>0

\end{cases}

$$

（注意此处不需要关注$x=0$处的$f''(x)$值，如果保证函数在拐点可能出现的附近区域连续，则只需要判断该点去心邻域$f''(x)$的正负）

显然$(0,0)$是$f(x)$的拐点

 

渐近线

例4：求$y=x+\sin \frac{1}{x}$的渐近线

 

水平渐近线

当$x\to \infty$时，函数为$\infty+有界量$，显然无水平渐近线

 

垂直渐近线

当$x=0$时，函数无定义，此时$y$不趋向于无穷，显然五垂直渐近线

 

斜渐近线

$$

\lim_{x\to \infty} \frac{y}{x}=1=a,\lim_{x\to \infty}(y-ax)=\lim_{x\to \infty}\sin \frac{1}{x}=0=b

$$

因此存在斜渐近线$y=x$

 

推广：

设一个函数$f(x)$存在斜渐近线$y=ax+b$

对于$f(x)$上的任意一点$(x,f(x))$到斜渐近线$y=ax+b$的距离

$$

\lim_{x\to \infty}d=\frac{|f(x)-ax-b|}{\sqrt{1+a^{2}}}=0

$$

有

$$

\lim_{x\to \infty}f(x)-ax-b=0

$$

即，当$x\to \infty$

$$

f(x)=ax+b+\alpha(x),其中\alpha(x)\to0

$$

所以如果一个函数当$x\to \infty$，能被写成一个$线性函数+无穷小$的形式就有斜渐近线

 

对于本题$y=x+\sin \frac{1}{x}$，当$x\to \infty$，显然可以被写成$y=x+0$，因此存在斜渐近线$y=x$

 

例5：分析$y=\frac{1}{x}+\ln(1+e^{x})$渐近线的条数

 

水平渐近线

$$

\lim_{x\to -\infty}y=0\quad 注意e^{\infty}\ne \infty

$$

因此有水平渐近线$y=0$

垂直渐近线

$$

\lim_{x\to0}y=\infty

$$

因此有垂直渐近线$x=0$

斜渐近线，由于$-\infty$侧已经有水平渐近线，因此不需要考虑该侧

$$

\begin{aligned}

\lim_{x\to+\infty} \frac{y}{x}&=\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln(1+e^{x})}{x}=\lim_{x\to+\infty} \frac{\frac{e^{x}}{1+e^{x}}}{1}=1=a\

\lim_{x\to+\infty}(y-ax)&=\lim_{x\to+\infty}(\ln(1+e^{x})-x)\

&此处可以选择把x变成\ln e^{x},也可以从前一项拆出x\

&=\lim_{x\to+\infty}\ln \frac{1+e^{x}}{e^{x}}=0=b

\end{aligned}

$$

因此有斜渐近线$y=x$

 

斜渐近线也可以用上面的推广方法

当$x\to+\infty$

$$

y=\ln [e^{x}(e^{-x}+1)]+ \frac{1}{x}=\underbrace{x}{线性函数}+\underbrace{\ln(e^{-x}+1)+ \frac{1}{x}}{无穷小}

$$

因此有斜渐近线$y=x$

 

方程的根

问零点的存在性考虑零点定理和原函数的罗尔定理

 

零点定理（使用条件是函数连续，端点值变号）

例6：求证方程$x+p+q\cos x=0$恰有一个实根，其中$p,q$为常数，且$0<q<1$

 

令$f(x)=x+p+q\cos x$

$$

\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty,\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty

$$

则存在$a<b$，使$f(a)<0,f(b)>0$

因此存在$\xi\in(a,b)$，使得$f(\xi)=0$，即$f(x)$有实根

又因为

$$

f'(x)=1-q\sin x>0

$$

因此方程$x+p+q\cos x=0$恰有一个实根

 

罗尔定理

例7：设$a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}=0$，求证方程

$$

na_{n}x^{n-1}+(n-a)a_{n-1}x^{n-2}+\cdots+2a_{2}x+a_{1}=0

$$

 

令

$$

\begin{aligned}

F(x)&=\int na_{n}x^{n-1}+(n-a)a_{n-1}x^{n-2}+\cdots+2a_{2}x+a_{1}\

&=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_{2}x^{2}+a_{1}x

\end{aligned}

$$

显然$F(x)$在$[0,1]$连续，$(0,1)$可导

$$

F(0)=0,F(1)=a_{n}+a_{n-1}+\cdots+a_{2}+a_{1}=0

$$

因此存在$\xi\in(0,1)$，使得$f'(\xi)=0$

 

不等式证明

$$

常用方法\begin{cases}

单调性:f(x)\geq g(x)即证f(x)-g(x)\geq0 \

拉格朗日中值定理常用于两个函数相减 \

最大最小值

\end{cases}

$$

 

例8：证明：$\frac{x}{1+x}<\ln(1+x)<x,(x>0)$

 

$$

\ln(1+x)=\ln(1+x)-\ln1=\frac{1}{\xi}x,\xi\in(1,1+x)

$$

有

$$

\frac{x}{1+x}<\ln(1+x)= \frac{x}{\xi}<x

$$

 

高等数学两个常用不等式：

$$\frac{x}{1+x}<\ln(1+x)<x,(x>0)$$

$$\sin x<x<\tan x,x\in(0,\frac{\pi}{2})$$

 

中值定理证明题

例9：设$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，在$(a,b)$上二阶可导，且$f(a)=f(b)=f(c),(a<c<b)$，证明存在$\xi\in(a,b)$，使$f''(\xi)=0$

 

存在$\xi_{1}\in(a,c)$，使$f'(\xi_{1})=0$

存在$\xi_{2}\in(c,b)$，使$f'(\xi_{2})=0$

存在$\xi_{}\in(\xi_{1},\xi_{2})$，使$f'(\xi_{})=0$

 

例10：设不恒为常数的函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，在开区间$(a,b)$内可导，且$f(a)=f(b)$，证明在$(a,b)$内至少存在一点$\xi$，使得$f'(\xi)>0$

 

根据题意，存在$c\in(a,b)$，使$f(c)\ne f(a)$，不妨设$f(c)>f(a)$

存在$\xi\in(a,c)$使

$$

f'(\xi)=\frac{f(c)-f(a)}{c-a}>0

$$

 

例11：设$f(x)$在$[a,b]$上二阶可导，$f(a)=f(b)=0$且存在$c\in(a,b)$使$f(c)<0$。试证：$\exists \xi \eta\in(a,b),f'(\xi)<0,f''(\eta)>0$

 

$\exists \xi\in (a,c)$，使得

$$

\frac{f(c)-f(a)}{c-a}=f'(\xi)<0

$$

$\exists\xi\in(c,b)$，使得

$$

\frac{f(b)-f(c)}{b-c}=f'(\xi_{1})>0

$$

$\exists \eta\in(\xi,\xi_{1})$，使得

$$

\frac{f'(\xi_{1})-f(\xi)}{\xi_{1}-\xi}=f''(\eta)>0

$$

 

 

例12：设函数$f(x)$在$[0,+\infty)$上可导，且$f(0)=0$，且$\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=2$，证明：

• 存在$a>0$，使得$f(a)=1$

• 存在$\xi\in(0,a)$，使得$f'(\xi)=\frac{1}{a}$

 

介值定理要求在闭区间连续，开区间内的某个值为介值

若$f(x)$在$[a,b]$上连续，且$f(a)\ne f(b)$，则对$f(a)$于$f(b)$之间任一数$C$，至少存在一个$\xi\in(a,b)$，使得$f(\xi)=C$

 

由于$f(x)$可导，则必然连续

又因为$f(0)=0,\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=2$，则存在$b>0$，使得$f(b)>1$

因此存在$a\in(0,b)$，使得$f(a)=1$

 

第二问可以用拉格朗日中值定理，这里用罗尔定理构造函数的方法

 

令

$$

F(x)=\int f'(x)- \frac{1}{a}=f(x)- \frac{1}{a}x

$$

显然$F(x)$在$[0,a]$连续，$(0,a)$可导

$$

F(0)=0,F(a)=f(a)-1=0

$$

因此存在$\xi\in(0,a)$，使得$f'(\xi)=\frac{1}{a}$