AM@映射@函数@反函数@复合函数
  YKlbyZv8AQAt 2023年11月02日 44 0



文章目录

    AM@映射@函数@反函数@复合函数_高等数学


    abstract

    • 从两个角度定义函数及相关概念
    • 直接定义
    • 引入映射这一概念,然后借助映射来定义函数
    • 讨论函数的最基本内容
    • 讨论复合映射和复合函数
    • 讨论逆映射和反函数及其性质
    • 相关的符号表示含义解释

    直接定义

    函数的定义

    • 设两个变量AM@映射@函数@反函数@复合函数_高等数学_02,AM@映射@函数@反函数@复合函数_高等数学_03是一个非空的实数集
    • 若存在一个对应规则AM@映射@函数@反函数@复合函数_函数定义_04,使得对于每个AM@映射@函数@反函数@复合函数_高等数学_05,按照这个规则,有唯一确定的实数值AM@映射@函数@反函数@复合函数_记法_06与之对应,则称AM@映射@函数@反函数@复合函数_函数定义_04是定义在AM@映射@函数@反函数@复合函数_高等数学_03上的一个函数
    • AM@映射@函数@反函数@复合函数_函数定义_09称为自变量,AM@映射@函数@反函数@复合函数_高等数学_03称为函数AM@映射@函数@反函数@复合函数_函数定义_04的定义域,
    • AM@映射@函数@反函数@复合函数_记法_06称为因变量,函数AM@映射@函数@反函数@复合函数_函数定义_04在AM@映射@函数@反函数@复合函数_高等数学_03对应的AM@映射@函数@反函数@复合函数_定义域_15的函数值全体构成的集合常记为AM@映射@函数@反函数@复合函数_记法_16,AM@映射@函数@反函数@复合函数_高等数学_17,称为函数AM@映射@函数@反函数@复合函数_定义域_15的值域

    反函数定义

    • 设AM@映射@函数@反函数@复合函数_定义域_19的定义域是AM@映射@函数@反函数@复合函数_函数定义_20,值域为AM@映射@函数@反函数@复合函数_函数定义_21
    • 函数AM@映射@函数@反函数@复合函数_定义域_19的反函数定义为:若对于任意AM@映射@函数@反函数@复合函数_记法_23,由AM@映射@函数@反函数@复合函数_定义域_19可以确定唯一的AM@映射@函数@反函数@复合函数_定义域_25,记为AM@映射@函数@反函数@复合函数_函数定义_26或AM@映射@函数@反函数@复合函数_定义域_27
    • 我们还可以借助逆映射的概念定义反函数,另见相关章节

    复合函数定义

    • 设函数AM@映射@函数@反函数@复合函数_记法_28,AM@映射@函数@反函数@复合函数_函数定义_29,AM@映射@函数@反函数@复合函数_记法_30
    • 若AM@映射@函数@反函数@复合函数_高等数学_31,则称函数AM@映射@函数@反函数@复合函数_函数定义_32为复合函数,它的定义域为AM@映射@函数@反函数@复合函数_记法_33,其中AM@映射@函数@反函数@复合函数_记法_34称为中间变量,AM@映射@函数@反函数@复合函数_函数定义_09称为自变量

    基于映射定义

    • 基于映射的概念,可以更加简洁地定义函数等相关概念
    • 映射是一种比函数更加基础和抽象的概念,函数是映射中的一种实现

    映射

    • 设AM@映射@函数@反函数@复合函数_函数定义_36是两个非空集合,如果存在一个对应法则(简称法则)AM@映射@函数@反函数@复合函数_函数定义_04,使得对AM@映射@函数@反函数@复合函数_高等数学_03中每个元素AM@映射@函数@反函数@复合函数_函数定义_09,按照法则AM@映射@函数@反函数@复合函数_函数定义_04,在AM@映射@函数@反函数@复合函数_记法_16中有唯一确定的元素AM@映射@函数@反函数@复合函数_记法_06与之对应,那么AM@映射@函数@反函数@复合函数_函数定义_04是从AM@映射@函数@反函数@复合函数_记法_44的映射,记为AM@映射@函数@反函数@复合函数_函数定义_45
    • AM@映射@函数@反函数@复合函数_高等数学_46是法则的记号
    • AM@映射@函数@反函数@复合函数_函数定义_47分别是被映射非空集合与映射结果非空集合

    像@原像

    • 在映射的定义中,AM@映射@函数@反函数@复合函数_记法_06称为元素AM@映射@函数@反函数@复合函数_函数定义_09(在映射AM@映射@函数@反函数@复合函数_函数定义_04下)的像,记为AM@映射@函数@反函数@复合函数_定义域_51,即AM@映射@函数@反函数@复合函数_记法_52
    • 而元素AM@映射@函数@反函数@复合函数_函数定义_09称为AM@映射@函数@反函数@复合函数_记法_06(在映射AM@映射@函数@反函数@复合函数_函数定义_04下)的一个原像

    定义域@值域

    • 集合AM@映射@函数@反函数@复合函数_高等数学_03称为映射AM@映射@函数@反函数@复合函数_函数定义_04的定义域,记为AM@映射@函数@反函数@复合函数_定义域_58,即AM@映射@函数@反函数@复合函数_记法_59
    • AM@映射@函数@反函数@复合函数_高等数学_03中所有元素的像组成的集合称为映射AM@映射@函数@反函数@复合函数_函数定义_04的值域,记为AM@映射@函数@反函数@复合函数_记法_62或AM@映射@函数@反函数@复合函数_函数定义_63,即AM@映射@函数@反函数@复合函数_函数定义_64

    小结

    • 一个映射需要具备3个要素:
    • 集合AM@映射@函数@反函数@复合函数_定义域_65(定义域AM@映射@函数@反函数@复合函数_记法_66)
    • 集合AM@映射@函数@反函数@复合函数_函数定义_67(值域范围,AM@映射@函数@反函数@复合函数_高等数学_68)
    • 对应法则AM@映射@函数@反函数@复合函数_高等数学_46,使每个AM@映射@函数@反函数@复合函数_记法_70,有唯一确定的AM@映射@函数@反函数@复合函数_函数定义_71与之对应
    • 每个AM@映射@函数@反函数@复合函数_高等数学_05的像AM@映射@函数@反函数@复合函数_记法_06是唯一的
    • 每个AM@映射@函数@反函数@复合函数_函数定义_74的原像不一定是唯一的
    • 映射AM@映射@函数@反函数@复合函数_函数定义_04的值域AM@映射@函数@反函数@复合函数_定义域_76是AM@映射@函数@反函数@复合函数_记法_16的一个子集AM@映射@函数@反函数@复合函数_函数定义_78,而不一定有AM@映射@函数@反函数@复合函数_高等数学_79

    例

    • 设AM@映射@函数@反函数@复合函数_定义域_80 AM@映射@函数@反函数@复合函数_高等数学_81 AM@映射@函数@反函数@复合函数_定义域_82,对于每个AM@映射@函数@反函数@复合函数_高等数学_83,对应法则:AM@映射@函数@反函数@复合函数_高等数学_84,AM@映射@函数@反函数@复合函数_函数定义_04是一个映射,其定义域AM@映射@函数@反函数@复合函数_记法_86,值域AM@映射@函数@反函数@复合函数_高等数学_87

    满射

    • 设AM@映射@函数@反函数@复合函数_函数定义_04是从集合AM@映射@函数@反函数@复合函数_高等数学_89的映射,若AM@映射@函数@反函数@复合函数_高等数学_79,即AM@映射@函数@反函数@复合函数_记法_16中任一元素AM@映射@函数@反函数@复合函数_记法_06都是AM@映射@函数@反函数@复合函数_高等数学_03中某元素的像,则AM@映射@函数@反函数@复合函数_函数定义_04为AM@映射@函数@反函数@复合函数_高等数学_89的满射
    • 满射是特殊的映射,意味着AM@映射@函数@反函数@复合函数_记法_16中没有多余的元素,AM@映射@函数@反函数@复合函数_定义域_97

    单射👺

    • 若对AM@映射@函数@反函数@复合函数_高等数学_03中任意两个不同元素AM@映射@函数@反函数@复合函数_记法_99,它们的像AM@映射@函数@反函数@复合函数_高等数学_100,则称AM@映射@函数@反函数@复合函数_函数定义_04为AM@映射@函数@反函数@复合函数_高等数学_89的单射
    • 单设也是一种特殊的映射
    • Note:
    • 单调函数一定是单射,但是单射不一定是单调函数,可能是离散的非单调函数
    • 对于单调不减函数,AM@映射@函数@反函数@复合函数_记法_103,AM@映射@函数@反函数@复合函数_高等数学_104不一定满足单射,单不增类似
    • 对于存在AM@映射@函数@反函数@复合函数_记法_105,AM@映射@函数@反函数@复合函数_记法_106的非严格单调函数不是单射
    • 单调函数中要求是严格单调函数才是且一定是单射

    双射

    • 若AM@映射@函数@反函数@复合函数_函数定义_04既是单设也是满射,则称AM@映射@函数@反函数@复合函数_函数定义_04为双射(一 一映射)
    • 例:AM@映射@函数@反函数@复合函数_函数定义_109,AM@映射@函数@反函数@复合函数_函数定义_110是双射

    映射的其他称呼

    • 映射又称为算子
    • 根据集合AM@映射@函数@反函数@复合函数_函数定义_36的不同情形,不同的数学分支中,映射有不同的管用名称
    • 从非空集合AM@映射@函数@反函数@复合函数_定义域_65到数集AM@映射@函数@反函数@复合函数_函数定义_67的映射又称为AM@映射@函数@反函数@复合函数_定义域_65上的泛函
    • 从非空集AM@映射@函数@反函数@复合函数_定义域_65到它自身的映射又称为AM@映射@函数@反函数@复合函数_定义域_65的变换
    • 从实数集合(或其子集)AM@映射@函数@反函数@复合函数_定义域_65到实数集AM@映射@函数@反函数@复合函数_函数定义_67的映射通常称为定义在AM@映射@函数@反函数@复合函数_定义域_65上的函数

    逆映射

    • 设AM@映射@函数@反函数@复合函数_函数定义_04是AM@映射@函数@反函数@复合函数_高等数学_89的单射,则对每个AM@映射@函数@反函数@复合函数_定义域_122,有唯一的AM@映射@函数@反函数@复合函数_高等数学_05,满足AM@映射@函数@反函数@复合函数_定义域_124
    • 我们可以定义一个从AM@映射@函数@反函数@复合函数_定义域_76到AM@映射@函数@反函数@复合函数_高等数学_03的新映射AM@映射@函数@反函数@复合函数_函数定义_127,即AM@映射@函数@反函数@复合函数_定义域_128;对每个AM@映射@函数@反函数@复合函数_定义域_122,规定AM@映射@函数@反函数@复合函数_定义域_130,且AM@映射@函数@反函数@复合函数_函数定义_09满足AM@映射@函数@反函数@复合函数_定义域_124
    • 那么这个新映射AM@映射@函数@反函数@复合函数_函数定义_127称为AM@映射@函数@反函数@复合函数_函数定义_04的逆映射,记为AM@映射@函数@反函数@复合函数_记法_135,其定义域为AM@映射@函数@反函数@复合函数_高等数学_136,值域为AM@映射@函数@反函数@复合函数_高等数学_137
    • 显然
    • AM@映射@函数@反函数@复合函数_高等数学_138的定义域和值域是相对调关系
    • 按定义,只有单射才存在逆映射
    • 例如AM@映射@函数@反函数@复合函数_函数定义_110是单射,且AM@映射@函数@反函数@复合函数_函数定义_04的逆映射AM@映射@函数@反函数@复合函数_记法_135是反正弦函数AM@映射@函数@反函数@复合函数_定义域_142
    • 其定义域AM@映射@函数@反函数@复合函数_记法_143;值域AM@映射@函数@反函数@复合函数_函数定义_144

    复合映射

    • 设有2个映射AM@映射@函数@反函数@复合函数_函数定义_145,AM@映射@函数@反函数@复合函数_函数定义_146;其中AM@映射@函数@反函数@复合函数_定义域_147,则有AM@映射@函数@反函数@复合函数_定义域_148可以定处一个从AM@映射@函数@反函数@复合函数_高等数学_149的对应法则AM@映射@函数@反函数@复合函数_定义域_150,即,它将AM@映射@函数@反函数@复合函数_高等数学_05映射成AM@映射@函数@反函数@复合函数_高等数学_152
    • 映射AM@映射@函数@反函数@复合函数_定义域_150称为AM@映射@函数@反函数@复合函数_高等数学_154的复合映射,记为AM@映射@函数@反函数@复合函数_记法_155,即AM@映射@函数@反函数@复合函数_定义域_156,AM@映射@函数@反函数@复合函数_函数定义_157
    • AM@映射@函数@反函数@复合函数_定义域_158中,AM@映射@函数@反函数@复合函数_高等数学_159是一个函数符号整体,相当于AM@映射@函数@反函数@复合函数_定义域_150,不引起歧义时不加括号:AM@映射@函数@反函数@复合函数_记法_155
    • 内外层:AM@映射@函数@反函数@复合函数_记法_155中AM@映射@函数@反函数@复合函数_函数定义_04是外层映射,AM@映射@函数@反函数@复合函数_函数定义_127是内层映射

    映射间可复合条件@复合顺序

    • 映射AM@映射@函数@反函数@复合函数_定义域_148构成复合映射AM@映射@函数@反函数@复合函数_记法_155的条件是:AM@映射@函数@反函数@复合函数_函数定义_167,否则复合无意义(不可符合)
    • 因此,映射AM@映射@函数@反函数@复合函数_定义域_148有复合顺序,AM@映射@函数@反函数@复合函数_记法_155有意义,也不表示AM@映射@函数@反函数@复合函数_记法_170有意义;即使AM@映射@函数@反函数@复合函数_记法_171都有意义,两者也未必相同
    • 例如:AM@映射@函数@反函数@复合函数_函数定义_172,AM@映射@函数@反函数@复合函数_高等数学_173,AM@映射@函数@反函数@复合函数_函数定义_174;
    • AM@映射@函数@反函数@复合函数_定义域_175;AM@映射@函数@反函数@复合函数_高等数学_176,AM@映射@函数@反函数@复合函数_定义域_177
    • 例如:
    • 映射AM@映射@函数@反函数@复合函数_记法_178,对于每个AM@映射@函数@反函数@复合函数_定义域_177,AM@映射@函数@反函数@复合函数_函数定义_180;
    • 映射AM@映射@函数@反函数@复合函数_记法_181对每个AM@映射@函数@反函数@复合函数_记法_182,
    • 则映射AM@映射@函数@反函数@复合函数_函数定义_183和AM@映射@函数@反函数@复合函数_高等数学_46构成复合映射AM@映射@函数@反函数@复合函数_高等数学_185,对于每个AM@映射@函数@反函数@复合函数_定义域_177,AM@映射@函数@反函数@复合函数_高等数学_187=AM@映射@函数@反函数@复合函数_高等数学_188=AM@映射@函数@反函数@复合函数_定义域_189

    函数@基于映射的函数相关定义

    函数

    • 设数集AM@映射@函数@反函数@复合函数_函数定义_190,则映射AM@映射@函数@反函数@复合函数_记法_191为定义在AM@映射@函数@反函数@复合函数_记法_33上的函数,通常记为AM@映射@函数@反函数@复合函数_函数定义_193
    • 其中AM@映射@函数@反函数@复合函数_函数定义_09为自变量,AM@映射@函数@反函数@复合函数_记法_06为因变量,AM@映射@函数@反函数@复合函数_记法_33为定义域,记为AM@映射@函数@反函数@复合函数_高等数学_197,即AM@映射@函数@反函数@复合函数_高等数学_198

    函数的记法及其含义

    函数值AM@映射@函数@反函数@复合函数_函数定义_199
    • 函数的定义中,AM@映射@函数@反函数@复合函数_记法_200,按对应法则AM@映射@函数@反函数@复合函数_函数定义_04,总有唯一确定的值AM@映射@函数@反函数@复合函数_记法_06与之对应,这个值称为函数AM@映射@函数@反函数@复合函数_函数定义_04在AM@映射@函数@反函数@复合函数_函数定义_09处的函数值,记为AM@映射@函数@反函数@复合函数_定义域_51,即AM@映射@函数@反函数@复合函数_记法_52
    函数关系
    • 因变量AM@映射@函数@反函数@复合函数_记法_06和自变量AM@映射@函数@反函数@复合函数_函数定义_09之间的依赖关系,通常称为函数关系

    定义域和值域

    • 函数AM@映射@函数@反函数@复合函数_函数定义_04的自变量AM@映射@函数@反函数@复合函数_函数定义_09的所有取值集合AM@映射@函数@反函数@复合函数_高等数学_197称为定义域
    • 函数值AM@映射@函数@反函数@复合函数_定义域_51的全体所构成的集合称为函数AM@映射@函数@反函数@复合函数_函数定义_04的值域,记为AM@映射@函数@反函数@复合函数_记法_62或AM@映射@函数@反函数@复合函数_高等数学_215,即AM@映射@函数@反函数@复合函数_函数定义_216

    AM@映射@函数@反函数@复合函数_记法_217的比较👺

    • 需要指出,按照上述定义,记号AM@映射@函数@反函数@复合函数_函数定义_04和AM@映射@函数@反函数@复合函数_定义域_51的含义是有区别的:
    • AM@映射@函数@反函数@复合函数_高等数学_46表示自变量AM@映射@函数@反函数@复合函数_高等数学_221和因变量AM@映射@函数@反函数@复合函数_定义域_222之间的对应法则
    • AM@映射@函数@反函数@复合函数_记法_223表示与自变量AM@映射@函数@反函数@复合函数_高等数学_221对应的函数值
    • 但是为了方便讨论,习惯上常用记号AM@映射@函数@反函数@复合函数_记法_225或AM@映射@函数@反函数@复合函数_函数定义_193来表示定义在AM@映射@函数@反函数@复合函数_记法_33上的函数

    函数的记号👺

    • 函数的记号可以是任意选取的
    • 除了常用的AM@映射@函数@反函数@复合函数_函数定义_04外,还可以用其他英文或希腊字母表示,例如AM@映射@函数@反函数@复合函数_定义域_229;相应地,函数可以记作AM@映射@函数@反函数@复合函数_定义域_230
    • 有时还直接用因变量的记号来表示函数,比如把函数记为AM@映射@函数@反函数@复合函数_定义域_231
    • 在同一个问题中,讨论几个不同函数时,需要用不同的记号来表示和相互区别它们

    函数定义域种类

    • 函数时从实数集到实数集的映射,其值域总是在AM@映射@函数@反函数@复合函数_函数定义_232内
    • 构成函数的要素有两个:定义域AM@映射@函数@反函数@复合函数_高等数学_197,对应法则AM@映射@函数@反函数@复合函数_函数定义_04
    • 函数的定义域由两种情形确定:
    • 对有实际背景的函数,根据实际背景中变量的实际意义确定
    • 例如,在自由落体运动中,设物体下落的时间为AM@映射@函数@反函数@复合函数_高等数学_235,下落的距离为AM@映射@函数@反函数@复合函数_记法_236,开始下落的时刻AM@映射@函数@反函数@复合函数_高等数学_237,落地的时刻AM@映射@函数@反函数@复合函数_记法_238,则AM@映射@函数@反函数@复合函数_函数定义_239之间的函数关系为AM@映射@函数@反函数@复合函数_高等数学_240,AM@映射@函数@反函数@复合函数_高等数学_241
    • 对于抽象地用算式表达的函数,通常约定这种函数的定义域时使得算式有意义的一切实数组成的集合,这种定义域称为函数的自然定义域
    • 一般的,用算式表达的函数可以用"AM@映射@函数@反函数@复合函数_高等数学_242"的形式表示,而不需要表出AM@映射@函数@反函数@复合函数_定义域_243
    • 例如,AM@映射@函数@反函数@复合函数_定义域_244的定义域式闭区间AM@映射@函数@反函数@复合函数_记法_245

    函数相同

    • 如果两个函数的定义域和对应法则都相同,那么着两个函数相同

    函数中的字母说明

    • 函数的自变量和因变量以及对应法则使用什么样的字母不影响函数本身
    • 例如,若AM@映射@函数@反函数@复合函数_高等数学_246两个对应法则是相同的,那么
    • AM@映射@函数@反函数@复合函数_高等数学_247和AM@映射@函数@反函数@复合函数_高等数学_248是相同的函数
    • 这是一因为两个函数的对应规则和定义域都一样,所以表示的函数也相同
    • 显然,AM@映射@函数@反函数@复合函数_高等数学_249和上述2个函数也是相同的
    • 总之,自变量不一定要用字母AM@映射@函数@反函数@复合函数_记法_250,反之,字母AM@映射@函数@反函数@复合函数_记法_250也未必总是表示自变量;类似的,字母AM@映射@函数@反函数@复合函数_函数定义_252和因变量有相仿的说法
    • 但是习惯上,我们还是习惯在不引起歧义和混淆的情况下,将一个函数中的自变量用字母AM@映射@函数@反函数@复合函数_记法_250表示,而因变量用字母AM@映射@函数@反函数@复合函数_函数定义_252表示
    • 在反函数的章节中,会体现这一点

    函数的表示方法

    • 函数的表示方法主要有3种:
    • 表格法
    • 图形法
    • 解析法(公式法)

    函数图形

    • :基于函数图形的概念,用坐标平面上的点集AM@映射@函数@反函数@复合函数_函数定义_255;该点集称为函数AM@映射@函数@反函数@复合函数_函数定义_193的图形

    分段函数

    • 在自变量的不同变化范围种,对应法则用不同式子来表示的函数,通常称为分段函数

    函数的特性

    分析一个函数的特性,可以从以下4个方面分析

    1. 有界性
    2. 单调性
    3. 奇偶性
    4. 周期性

    此处不展开

    反函数

    • 作为逆映射的特例,可以定义如下反函数概念
    • 设函数AM@映射@函数@反函数@复合函数_定义域_257是单射,则它存在逆映射AM@映射@函数@反函数@复合函数_定义域_258,称此映射AM@映射@函数@反函数@复合函数_记法_135为函数AM@映射@函数@反函数@复合函数_函数定义_04的反函数
    • 这里AM@映射@函数@反函数@复合函数_记法_261表示AM@映射@函数@反函数@复合函数_高等数学_46的值域AM@映射@函数@反函数@复合函数_定义域_263
    • 由反函数定义,AM@映射@函数@反函数@复合函数_记法_264,有唯一的AM@映射@函数@反函数@复合函数_函数定义_265,满足AM@映射@函数@反函数@复合函数_定义域_124,于是AM@映射@函数@反函数@复合函数_记法_267(或作AM@映射@函数@反函数@复合函数_记法_268)
    • 即,AM@映射@函数@反函数@复合函数_记法_135的对应法则完全由函数AM@映射@函数@反函数@复合函数_函数定义_04的对应法则所确定
    • 例如:AM@映射@函数@反函数@复合函数_函数定义_271是单射,所以它的反函数存在,且其反函数AM@映射@函数@反函数@复合函数_记法_272

    直接函数

    • 相对于反函数AM@映射@函数@反函数@复合函数_函数定义_273而言,原来的函数AM@映射@函数@反函数@复合函数_记法_52称为直接函数
    • 直接函数和反函数互为反函数

    反函数表示

    • 对于AM@映射@函数@反函数@复合函数_函数定义_193的反函数AM@映射@函数@反函数@复合函数_记法_268,习惯上自变量用字母AM@映射@函数@反函数@复合函数_函数定义_09表示,而因变量用字母AM@映射@函数@反函数@复合函数_记法_06表示
    • 例如AM@映射@函数@反函数@复合函数_高等数学_279的反函数通常写作AM@映射@函数@反函数@复合函数_高等数学_280
    • 一般地,AM@映射@函数@反函数@复合函数_函数定义_193的反函数记为AM@映射@函数@反函数@复合函数_函数定义_282

    单调函数和反函数

    • 若AM@映射@函数@反函数@复合函数_函数定义_04是定义在AM@映射@函数@反函数@复合函数_记法_33上的单调函数,则AM@映射@函数@反函数@复合函数_定义域_257是单射,于是AM@映射@函数@反函数@复合函数_函数定义_04必定存在反函数AM@映射@函数@反函数@复合函数_记法_135,且AM@映射@函数@反函数@复合函数_记法_135也是单调的
    • 证明:以单调增加为例,单调减少类似
    • 不妨设AM@映射@函数@反函数@复合函数_高等数学_46在AM@映射@函数@反函数@复合函数_高等数学_290上单调增加,我们证AM@映射@函数@反函数@复合函数_函数定义_291在AM@映射@函数@反函数@复合函数_记法_261上同样单调增加
    • AM@映射@函数@反函数@复合函数_函数定义_293,且AM@映射@函数@反函数@复合函数_记法_294,按函数AM@映射@函数@反函数@复合函数_高等数学_46的定义:
    • 对于AM@映射@函数@反函数@复合函数_函数定义_296,在AM@映射@函数@反函数@复合函数_高等数学_297内存在唯一的原像AM@映射@函数@反函数@复合函数_高等数学_298使得AM@映射@函数@反函数@复合函数_记法_299,从而AM@映射@函数@反函数@复合函数_定义域_300
    • 对于AM@映射@函数@反函数@复合函数_高等数学_301,在AM@映射@函数@反函数@复合函数_高等数学_297内存在唯一的原像AM@映射@函数@反函数@复合函数_定义域_303使得AM@映射@函数@反函数@复合函数_函数定义_304,从而AM@映射@函数@反函数@复合函数_定义域_305
    • 方法1:因为AM@映射@函数@反函数@复合函数_记法_306,且函数AM@映射@函数@反函数@复合函数_定义域_307单调增加,所以AM@映射@函数@反函数@复合函数_高等数学_308,即AM@映射@函数@反函数@复合函数_高等数学_309.即AM@映射@函数@反函数@复合函数_记法_310在AM@映射@函数@反函数@复合函数_定义域_311上单调增加
    • 方法2:若AM@映射@函数@反函数@复合函数_定义域_312,则由AM@映射@函数@反函数@复合函数_定义域_313单调增加,AM@映射@函数@反函数@复合函数_函数定义_314;若AM@映射@函数@反函数@复合函数_函数定义_315,则AM@映射@函数@反函数@复合函数_高等数学_316,显然这两种假设都和AM@映射@函数@反函数@复合函数_记法_306矛盾,所以AM@映射@函数@反函数@复合函数_高等数学_308,即AM@映射@函数@反函数@复合函数_高等数学_309.即AM@映射@函数@反函数@复合函数_记法_310在AM@映射@函数@反函数@复合函数_定义域_311上单调增加

    互为反函数的两个函数的图形特点

    • 如果把直接函数AM@映射@函数@反函数@复合函数_定义域_19和它的反函数AM@映射@函数@反函数@复合函数_函数定义_323的图形画在同一个坐标系上,则这两个图形关于AM@映射@函数@反函数@复合函数_高等数学_324对称
    • 若AM@映射@函数@反函数@复合函数_函数定义_325在AM@映射@函数@反函数@复合函数_函数定义_71的图形上,则AM@映射@函数@反函数@复合函数_记法_327
    • 由反函数定义,AM@映射@函数@反函数@复合函数_定义域_328满足AM@映射@函数@反函数@复合函数_高等数学_329,即AM@映射@函数@反函数@复合函数_高等数学_330在函数AM@映射@函数@反函数@复合函数_定义域_331的图形上
    • 反之,若AM@映射@函数@反函数@复合函数_高等数学_330是AM@映射@函数@反函数@复合函数_定义域_331上的点,有AM@映射@函数@反函数@复合函数_高等数学_329,AM@映射@函数@反函数@复合函数_记法_327,即AM@映射@函数@反函数@复合函数_函数定义_325是AM@映射@函数@反函数@复合函数_函数定义_71上的点
    • 而AM@映射@函数@反函数@复合函数_记法_338是关于直线AM@映射@函数@反函数@复合函数_高等数学_339对称,所以AM@映射@函数@反函数@复合函数_函数定义_340关于直线AM@映射@函数@反函数@复合函数_高等数学_339对称
    • 在同一直角坐标系内,AM@映射@函数@反函数@复合函数_定义域_19和AM@映射@函数@反函数@复合函数_函数定义_26的图像重合(一致)
    • 函数AM@映射@函数@反函数@复合函数_记法_344自变量为AM@映射@函数@反函数@复合函数_定义域_222,对应于AM@映射@函数@反函数@复合函数_定义域_222轴,因变量AM@映射@函数@反函数@复合函数_高等数学_221对应于AM@映射@函数@反函数@复合函数_高等数学_221轴
    • 设AM@映射@函数@反函数@复合函数_记法_349的坐标为AM@映射@函数@反函数@复合函数_记法_350是AM@映射@函数@反函数@复合函数_记法_344上的点,则有AM@映射@函数@反函数@复合函数_记法_352即AM@映射@函数@反函数@复合函数_高等数学_329,
    • 由反函数定义,有AM@映射@函数@反函数@复合函数_记法_327,即AM@映射@函数@反函数@复合函数_记法_355是AM@映射@函数@反函数@复合函数_函数定义_71上的点
    • 所以AM@映射@函数@反函数@复合函数_函数定义_325同时在AM@映射@函数@反函数@复合函数_记法_344,AM@映射@函数@反函数@复合函数_函数定义_71的图形上,类似的,AM@映射@函数@反函数@复合函数_函数定义_71上的点也都在AM@映射@函数@反函数@复合函数_记法_344上
    • 所以结论成立

    自反性质

    • 由反函数的定义:
    • AM@映射@函数@反函数@复合函数_定义域_362,
    • AM@映射@函数@反函数@复合函数_函数定义_363

    复合函数

    • 复合函数是复合映射的一种特例
    • 设函数AM@映射@函数@反函数@复合函数_函数定义_364,AM@映射@函数@反函数@复合函数_记法_365,且其值域AM@映射@函数@反函数@复合函数_函数定义_366,则函数AM@映射@函数@反函数@复合函数_函数定义_367,AM@映射@函数@反函数@复合函数_记法_368称为AM@映射@函数@反函数@复合函数_函数定义_369和AM@映射@函数@反函数@复合函数_定义域_370构成的复合函数;它的定义域为AM@映射@函数@反函数@复合函数_函数定义_371,变量AM@映射@函数@反函数@复合函数_记法_34称为中间变量

    复合顺序

    • 函数AM@映射@函数@反函数@复合函数_函数定义_127(内层函数)和AM@映射@函数@反函数@复合函数_函数定义_04(外层函数)构成的复合函数,即按"先AM@映射@函数@反函数@复合函数_函数定义_127后AM@映射@函数@反函数@复合函数_函数定义_04"的次序复合的函数极记为AM@映射@函数@反函数@复合函数_记法_155,即AM@映射@函数@反函数@复合函数_定义域_158=AM@映射@函数@反函数@复合函数_记法_379

    复合条件

    • 和复合映射相仿,AM@映射@函数@反函数@复合函数_函数定义_380有意义的条件是AM@映射@函数@反函数@复合函数_高等数学_381
    • 某些不满足复合条件的函数,通过将内层函数的定义域加以限制得到新的函数,可以得到可复合的函数组
    • 例如AM@映射@函数@反函数@复合函数_函数定义_380无意义,但是限制定义域后的AM@映射@函数@反函数@复合函数_定义域_383可以和AM@映射@函数@反函数@复合函数_定义域_384复合:AM@映射@函数@反函数@复合函数_函数定义_385
    • 一般地,只要是AM@映射@函数@反函数@复合函数_函数定义_386,则存在AM@映射@函数@反函数@复合函数_定义域_383使得AM@映射@函数@反函数@复合函数_函数定义_385有意义,
    • 通常,为了简便,我们仍然称AM@映射@函数@反函数@复合函数_函数定义_385为函数AM@映射@函数@反函数@复合函数_记法_390和函数AM@映射@函数@反函数@复合函数_定义域_384地复合函数

    多重复合

    • 有时会有超过3个函数进行复合,只要它们顺次满足构成复合函数地的条件即可复合


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