文章目录

• abstract

• preface

• 二重积分

• 二重积分抽象自实际问题
• 二重积分的定义
• 二重积分式中的相关概念
• 积分区域的划分@二重积分在两种坐标系下的表示

• 直角坐标系中
• 极坐标中

• 积分和极限存在性
• 使用二重积分描述实际问题
• 二重积分的几何意义
• 二重积分的性质

abstract

• 一元函数积分(定积分)可以推广到多元积分
• 本文讨论最简单的多元函数积分中的最简单重积分问题:二重积分的定义和性质
• 二重积分在直角坐标和极坐标中的表示和转换

preface

• 一元函数积分是某种确定形式的和的极限,这种极限的概念推广到定义在区间,曲线和曲面上的多元函数的情形,便得到以下几类积分概念

• 重积分(例如二重积分,三重积分)
• 曲线积分
• 曲面积分

• 本文仅介绍二重积分的概念和基本性质,

• 按照二重积分的定义计算二重积分是不方便的,对于少数特别简单的被积函数和积分区域来说是可行的,但是对于一般的函数和区域来说,是不合适的
• 具体的二重积分问题和计算方法另见它文,例如累次积分法

二重积分

二重积分抽象自实际问题

• 二重积分可以抽象自

• 曲顶柱体的体积
• 平面薄片的质量

• 设有一平面薄片占有面上的闭区域,它在点处的面密度为,这里,求薄片的质量
• 对于小闭区域而言,有近似:

• 两个问题的实际意义不同,但是所求量都归结为同一形式的和的极限
• 我们把这个形式的和的极限抽象为二重积分的定义

二重积分的定义

• 设是有界闭区域上的有界函数,将闭区域任意分成个小闭区域

• 
• 其中表示第个小闭区域,也表示它的面积
• 在每个上任意取一点,作乘积,
  ,再作(0)
• 若当各个小闭区域的直径¹的最大值时,的极限总是存在,且与闭区域的具体分法和点的取法无关,那么称此极限为函数在闭区域上的二重积分,记为,即式(1):

• 

二重积分式中的相关概念

• 式(1)中的左端

• 称为积分区域
• 称为被积表达式

• 称为被积函数
• 称为面积元素,是积分区域上划分的小区域的面积
• 称为积分变量

• 式(1)的右端

• 称为积分和

积分区域的划分@二重积分在两种坐标系下的表示

• 这里来讨论面积元素在不同坐标系下的形式
• 二重积分的定义中对闭区域的划分是任意的

直角坐标系中

• 常用平行于坐标轴的直线网来划分,则处理包含边界的一些小闭区域外²其余小闭区域都是矩形闭区域
• 设矩形闭区域的边长为和,则=
• 因此在直角坐标系中,有时也把面积元素记为,称为直角坐标系中的面积元素
• 此时二重积分式记为=

极坐标中

• 有些二重积分,积分区域的边界曲线用极坐标方程来表示比较方便,且被积函数用极坐标变量表达比较简单;这时可以考虑用极坐标来计算二重积分
• 假定从极坐标的极点出发且穿过闭区域内部的射线与的边界曲线相交不多余2点
• 利用极点为圆心的一族同心圆:,为常数;以及从极点出发的一族射线,为常数,把分为个小闭区域
• 处理包含边界点的一些小闭区域外,小比区域为扇环

• 扇环斜边为,对应的圆心角为,面积仍然记为,则计算公式为
• =-=(1)

• 令==(2),表示上的的两条弧(射线方向上相邻两圆弧)的平均值
• Note:在上表示为两斜边中点对应的圆心角和两圆弧同为的弧段

• 则=(3)

• 在内,取圆周=上的一个点,该点的直角坐标设,则由直角坐标和极坐标之间的关系有

• = (4);
• =(5)

• 将(3,4,5)代入二重积分对应的积分和式

• =(6)

• ,即=(7)
• 由因为直角坐标系中=,所以式(7)有时也写作=(8)
• 这个过程中

• 式极坐标系中的面积元素
• 公式(8)是二重积分从直角坐标变换为极坐标的变换公式

• 此公式指明了变换内容为:

• 
• 
• 

积分和极限存在性

• 当在闭区域上连续时,式(1)的右端极限必然存在,也就是说,函数在上的二重积分必定存在
• 研究二重积分时,我们总假定函数在闭区域上连续,所以在上的二重积分总是存在的

使用二重积分描述实际问题

• 二重积分的定义可知

• 曲定柱体的体积时函数在底上的二重积分

• 

• 平面薄片的质量是它的面密度在薄片所占闭区域上的二重积分

• 

二重积分的几何意义

• 一般地,若,被积函数可以解释为曲顶柱体的顶在点处的竖坐标,所以二重积分的几何意义是柱体的体积
• 若,柱体就在面的下方,二重积分的绝对值仍然等于柱体的体积(二重积分的值是负的)
• 若在区域的若干部分区域为正,其他部分区域为负,则在上的二重积分那等于平面上方柱体体积减去下方的柱体体积所得之差

二重积分的性质

1. 设为常数

• =+

2. 有限可加性

• 若区域,即区域被有限条曲线划分为有限个部分闭区域
• =

• 例如:=+

3. 在上,,为的面积,则

• =

• 即高为1的平定柱体的体积在数值上就等于柱体的底面积
• 这时二重积分求面积数值的一个特殊应用

• ==

4. 若在上,,则

• 
• 推论:由于,

• =
• ,由绝对值不等式性质
• 

5. 二重积分估计定理

• 设分别是在闭区域上的最大值和最小值,是的面积,则

• 

• 上述不等式是对二重积分估值的不等式
• 推导:因为,由性质4,: ,再由性质3,得欲证不等式

6. 二重积分中值定理

• 设函数在闭区域上连续,是的面积,则在上至少有一点,使得

• =

• 证明:

• 显然,把性质5中的不等式各除以,有
• 即是介于的最大值和最小值之间的
• 根据闭区域上连续函数的介值定理,在上至少存在一点,使得=
• 两边乘以,即得欲证不等式

• 可理解为曲定柱体区域的的平均高度

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1. 小区域直径:小区域中任意两点距离中的最大值 ↩︎
2. 求极限和时,这些小区域所对应的项的和的极限为0,因此这些小闭区域可以略去不计 ↩︎