积分有两个要求，一个是积分上下限有限，被积函数有界，打破其中任意一个，即为反常积分
无穷区间上的反常积分
$$
\begin{gathered}
\int^{a}{+\infty}f(x)dx=\lim\limits{t\to+\infty}\int^{t}_{a}f(x)dx\
\int^{b}{-\infty}f(x)dx=\lim\limits{t\to-\infty}\int^{b}_{t}f(x)dx\
若\int^{+\infty}{0}f(x)dx和\int^{0}{-\infty}f(x)都收敛,则称\int^{+\infty}_{-\infty}f(x)dx收敛
\end{gathered}
$$
常用结论：
$$
\int^{+\infty}_{a} \frac{1}{x^{P}}dx=\left{\begin{aligned}&P>1&收敛\
&P\leq1&发散\end{aligned}\right.\quad(a>0)
$$
无界函数的反常积分
设$a$为$f(x)$的无界点，
$$
\int^{b}{a}f(x)dx=\lim\limits{t\to a^{+}}\int^{b}_{c}f(x)dx
$$
常用结论：
$$
\int^{b}_{a} \frac{1}{(x-a)^{P}}dx=\left{\begin{aligned}&P<1&收敛\
&P\geq1&发散\end{aligned}\right.=\int^{b}_{a} \frac{1}{(b-x)^{P}}dx
$$
常考题型与典型例题
反常积分的敛散性
例1：说明反常积分$\int^{+\infty}_{2}xde^{-x}$收敛
$$
\begin{aligned}
\int^{+\infty}{2}xde^{-x}&=-\int^{+\infty}{2}xde^{-x}\
&=-xe^{-x}\Big|^{+\infty}{2}+\int^{+\infty}{2}e^{-x}dx\
&=-(x+1)e^{-x}\Big|^{+\infty}_{2}
\end{aligned}
$$
$e^{x}$在分母上变成$e^{-x}$
例2：设函数$f(x)=\left{\begin{aligned}& \frac{1}{(x-1)^{\alpha-1}}&1<x<e\& \frac{1}{x\ln^{\alpha+1}x}&x\geq e\end{aligned}\right.$，若反常积分$\int^{+\infty}_{1}f(x)dx$收敛，求$\alpha$的范围
定义中若$\int^{+\infty}{0}f(x)dx$和$\int^{0}{-\infty}f(x)$都收敛，则称$\int^{+\infty}_{-\infty}f(x)dx$收敛，是指积分上下限区间范围内任意分都收敛，则整体收敛
$$
\begin{aligned}
\int^{+\infty}{1}f(x)dx&=\int^{e}{1} \frac{1}{(x-1)^{\alpha-1}}dx+\int^{+\infty}_{e} \frac{dx}{x\ln^{\alpha+1}x}\
&=\underbrace{\int^{e}{1} \frac{1}{(x-1)^{\alpha-1}}dx}{\alpha-1<\alpha\Rightarrow \alpha<2 }+\underbrace{\int^{+\infty}{e} \frac{d\ln x}{\ln^{\alpha+1}x}}{\alpha+1>1 \Rightarrow \alpha>0}
\end{aligned}
$$
两个常用公式中的变量可以整体代换，如本题$\ln x$代换$x$，可使用$\int^{+\infty}_{a} \frac{1}{x^{P}}dx$的结论
因此$0<\alpha<2$
例3：反常积分$\int^{0}_{-\infty} \frac{1}{x^{2}}e^{\frac{1}{x}}dx$的敛散性为
$$
\begin{aligned}
原式&=-\int^{0}_{-\infty}e^{\frac{1}{x}}d \frac{1}{x}\
&=-e^{\frac{1}{x}}\Big|^{0}_{-\infty}\
&=- \lim\limits_{x\to0^{-}}e^{\frac{1}{x}}+1=1
\end{aligned}
$$
此处有$\lim\limits_{x\to0^{-}}e^{\frac{1}{x}}$，原本是$\lim\limits_{x\to0}e^{\frac{1}{x}}$，但由于一面已经确定了是$-\infty$（$0$以左都一样），则在该区间内，趋向于$0$，显然无法出现$x\to 0^{+}$，因此默认为$0^{-}$
例4：反常积分$\int^{+\infty}_{0} \frac{1}{x^{a}(1+x)^{b}}dx$收敛
$\int^{+\infty}_{0} \frac{1}{x^{P}}dx$积分两侧都是反常积分，下限为无界函数的反常积分，上限为无穷区间的反常积分
$$
\begin{aligned}
原式&=\int^{1}{0} \frac{dx}{x^{a}(1+x)^{b}}+\int^{+\infty}{1} \frac{dx}{x^{a}(1+x)^{b}}\
&这里观察到两侧都是反常积分\
&因此随便找个数把两类反常积分区间分开
\end{aligned}
$$
由于$\lim\limits_{x\to0^{+}}(1+x)^{b}=1$，易知$\int^{1}{0} \frac{dx}{x^{a}(1+x)^{b}}$在$0$处与$\int^{1}{0} \frac{dx}{x^{a}}$同敛散，因此$a<1$。对于另一部分有
$$
\begin{aligned}
\int^{+\infty}{1} \frac{dx}{x^{a}(1+x)^{b}}&=\int^{+\infty}{1} \frac{dx}{x^{a+b}(1+ \frac{1}{x})^{b}}
\end{aligned}
$$
用上面的推理方式,可知$\int^{+\infty}{1} \frac{dx}{x^{a+b}(1+ \frac{1}{x})^{b}}$与$\int^{+\infty}{1} \frac{dx}{x^{a+b}}$当$x\to +\infty$同敛散，因此$a+b>1$
反常积分的计算
例5：$\int^{+\infty}_{2} \frac{dx}{(x+7)\sqrt{x-2}}=()$
可以令$\sqrt{x-2}=t$，可以算出来，这里用另一种方法
$$
\begin{aligned}
原式&=\int^{+\infty}_{2} \frac{2d \sqrt{x-2}}{9+(\sqrt{x-2})^{2}}\
&=\frac{2}{3} \arctan \sqrt{x-2}\Big|^{+\infty}_{2}\
&=\frac{\pi}{3}
\end{aligned}
$$
例6：计算$I=\int^{+\infty}_{1} \frac{dx}{e^{x}+e^{2-x}}$
如果积分中出现$e^{x}$且要凑进$dx$，则可以考虑尽量把所有$e^{-x}$化成$e^{x}$方便观察
$$
\begin{aligned}
I&=\int^{+\infty}_{1} \frac{e^{x}dx}{e^{2x}+e^{2}}\
&=\int^{+\infty}_{1} \frac{de^{x}}{e^{2}+e^{2x}}\
&=\frac{1}{e}\arctan \frac{e^{x}}{e}\Big|^{+\infty}_{1}\
&=\frac{\pi}{4e}
\end{aligned}
$$