1 数项级数的概念和基本性质
1.1 数项级数的概念
定义1：数列的前n项和
因此：
可以得出：级数收敛就是该级数的部分和数列有极限。（判断敛散性的第一步）
等比级数（也叫几何级数）
无穷级数：
首先确定级数的一般项：
可知该级数为等比级数
求该数列的前n项和：
当|q| < 1时，
所以，级数收敛。
当|q| > 1时，
所以，级数发散。
当q = 1时，
所以，级数发散。
当q = -1时，
所以，级数发散。
结论：
交错级数
当n为奇数时s_n =1;当n为偶数时s_n = 0;所以数列的部分和数列{s_n}无极限；所以级数发散。
1.2 数项级数的基本性质
性质1：
性质2：
性质3：
性质4：
性质5：（级数收敛的必要条件）
调和级数：（需要记住，经常要用）
即使
2 数项级数的审敛法
大多数情况下求出级数的部分和以及其极限是十分困难的。需要找到通过级数一般项来判别技术的敛散性。
2.1 正向级数及其审敛法
级数的各项值都是非负数的级数被称为”正向级数“。
定理1
定理2（比较审敛法）
技巧：
1 先判断一般项u_n的极限是否等于0；若不等于0必发散。
常用来用作参考的级数有：
例题1：
例题2：
例题3：p级数（需要记住，非常重要）
结论：
例题4：
定理3（比较审敛法的极限形式）
典型例子：
定理4（比值审敛法，达朗贝尔审敛法）级数中有阶乘或等比时用的多
前面的定理都要借助另一个级数来判断
定理5(根值审敛法，柯西审敛法)级数中有n次幂
2.2 交错级数及其审敛法
定理6（莱布尼茨审敛法）专门针对交错级数
2.3 绝对收敛和条件收敛（不受正向级数限制）
定义
定理7
2.4 练习题（很重要）
2.5 级数敛散性判别方法清单
2.6 常用级数敛散性表
记住它！
3 幂级数
3.1 函数项级数
3.2 幂级数的收敛半径和收敛域以及收敛区间
幂级数是函数项技术中最简单、应用最广的一类函数，它的一般形式为：
定理1[阿贝尔(Abel)定理]
解释如图：
收敛区间默认不包含端点；收敛域必须判定端点的敛散性。
也就是说收敛域是加上端点敛散性判定后的区间。
定理2(收敛半径域收敛域)
特别注意：两个端点处单独判断。 + 极限计算式不包括x^n。
常考的几种幂级数：(求他们的收敛半径和收敛域)
【1】
正常利用定理求解+端点判定。
【2】
计算的结果转化为x的取值范围；即开根号就行+端点判定。
【3】
【4】
计算的结果转化为x的取值范围；左右端点分别+1。
3.3 幂级数的性质及其应用（求幂级数的和函数）
1）多个一元函数在区间(a,b)上都连续；那么他们的和也在该区间上连续。
2）多个一元函数在区间(a,b)上都可导；那么他们的和也在该区间上可导。
3）多个一元函数在区间[a,b]上都可积；那么他们的和的积分等于他们每个函数单独积分的和。
上述都是有限函数的和；实际上以上性质推广到无穷级数上也同样适用。幂级数也一样适用。
性质1(和函数连续性)
性质2(逐项积分)
性质3(逐项求导)
重点
例题
【1】
解：
【2】
解：
【3】
解：
4 函数的幂级数展开式
什么是幂级数展开式?
差不多可以理解为是上一节运算过程的逆运算。
4.1 函数的幂级数展开式及其唯一性
定理1(唯一性定理)
特别特别要注意；f^n(0)是先解f(x)的n阶导数再将x=0带入；而不是先解f(0)再求n解导数；这一点虽然简单但容易在解题时被忽视。
由上述定理可知：
4.2 泰勒公式（选学）
泰勒(Taylor)公式(0! = 1)
4.3 泰勒级数及泰勒展开式（选学）
定义：
显然幂级数在x=x_0处收敛到f(x_0);因为除该项歪歪其他项都等于0；但除此之外的点的敛散性需要使用下面的定理判断。
定理2
4.4 函数展开成幂级数
求函数f(x)的幂级数展开式的一般步骤：
1）求出f(x)的各阶导数；
2）求出泰勒系数a_n；
3）写出f(x)的泰勒级数，并求出收敛域；
4）在收敛域上证明泰勒公式的余项R_n(x)当n—>0时极限值为0.
常见函数展开成幂级数的清单：
【1】
【2】
【3】
【4】
【5】
【6】
【7】
欧拉公式
5 傅里叶级数
5.1 三角级数和三角函数系的正交性
概念与公式
在自然界和工程技术中经常出现周期现象。周期函数就是描述周期现象的函数。最简单的周期现象就是简谐振动，它可以使用下面的正弦函数来表示：
对于一个复杂周期运行的自然问题分否分解成简谐振动的叠加？这个问题反映到数学上就是：一个复杂的周期函数能否展开成由正弦函数和余弦函数构成的三角级数。
我们称形式上为：
的函数项级数称为三角级数；称：
为三角函数系。
三角函数的正交性：
三角函数系中的每个函数的平方在[-π,π]上的积分都大于0，而每两个不同的函数的乘积在[-π,π]上的积分都等于0；即：
5.2 函数展开成傅里叶级数
公式与定理
设函数f(x)是已2π为周期的函数，且能展开成三角级数，即：
那么，如何通过f(x)得到a_0,a_n和b_n呢？
欧拉-傅里叶(Euler-Fourier)公式:
将上述公式带入f(x)的三角级数展开式就是f(x)的傅里叶级数：
那么接下来的问题是：这个级数收敛吗？如果收敛，是否收敛到f(x)？
狄利克雷(Dilichlet)收敛定理：
从定理可以看出；若f(x)是以2π为周期且连续，则f(x)的傅里叶级数必定收敛于f(x)；也就是说函数可以展开成傅里叶级数。
可见函数能展开成傅里叶级数的条件比能展开成幂级数的条件要弱得多；这就使得傅里叶级数的应用比幂级数的应用要广泛。
几组例题
【1】
解：
首先，画出函数的图像：
然后，结合题目知道f(x)是满足收敛定理的（1.周期2π； 2. 在一个周期内连续，仅在x=kπ处间断【k等于全体整数】； 3.周期内只有有限个极值点。）
因此；上述函数f(x)在x=kπ处收敛于：
因此，当x不等于kπ(k=0,1,-1,2,-2,...)时可转换为傅里叶级数:
再然后计算f(x)的傅里叶系数：
计算结果：
因此将上述计算出的系数带入傅里叶展开式：
【2】
解：
首先，画出函数的图像：
然后，结合题目知道f(x)是满足收敛定理的（1.周期2π； 2. 在一个周期内连续，仅在x=(2k+1)π处间断【k等于全体整数】； 3.周期内只有有限个极值点。）
因此；上述函数f(x)在x=(2k+1)π处收敛于：
因此，当x不等于(2k+1)π(k=0,1,-1,2,-2,...)时可转换为傅里叶级数:
再然后计算f(x)的傅里叶系数：
所以，f(x)的傅里叶级数展开式为：
【3】
解：
首先，画出函数的图像：
然后，结合题目知道f(x)是满足收敛定理的（1.周期2π； 2. 在一个周期内连续，仅在x=(2k+1)π处间断【k等于全体整数】； 3.周期内只有有限个极值点。）
因此；上述函数f(x)在x=(2k+1)π处收敛于：
因此，当x不等于(2k+1)π(k=0,1,-1,2,-2,...)时可转换为傅里叶级数:
再然后计算f(x)的傅里叶系数：
所以，f(x)的傅里叶级数展开式为：
像这样的傅里叶级数中的余弦项的系数(包括a_0)都为0；被称为正弦级数。
【4】
解：
首先，画出函数的图像：
然后，结合题目知道f(x)是满足收敛定理的（1.周期2π； 2. 在一个周期内连续(该函数周期类处处连续) 3.周期内只有有限个极值点。）
因此；上述函数f(x)在周期内都收敛于f(x)。
再然后计算f(x)的傅里叶系数：
所以，f(x)的傅里叶级数展开式为：
像这样的傅里叶级数中的正弦项的系数都为0；被称为余弦级数。
【5】
解：
首先，画出函数的图像：
然后，结合题目知道f(x)是满足收敛定理的（1.周期2π； 2. 在一个周期内连续(该函数周期类处处连续) 3.周期内只有有限个极值点。）
因此；上述函数f(x)在周期内都收敛于f(x)。
再然后计算f(x)的傅里叶系数：
所以，f(x)的傅里叶级数展开式为：
好了；以上内容就是级数部分的全部内容了；级数呢只是看起来复杂，实际上认真花时间去学习还是不难的。
本人能力有限，文中内容难免有纰漏，真诚欢迎大家批评斧正~
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