文章目录

• abstract
• 引言
• 正定二次型

• 小结
• 可逆线性变换不改变二次型的正定性
• 二次型是正定的充要条件
• 推论:正定矩阵和特征值
• 正定二次型(正定矩阵)性质

• 负定二次型

• 负定二次型判定条件

• k阶顺序主子式

• 赫尔维茨定理:主子式判定二次型正定性和负定性

• 二次型分类小结

• 有定二次型
• 不定二次型

abstract

• 介绍正定二次型相关概念和性质
• 二次型的分类
• 主子式

引言

• 科学技术上用的较多的二次型是正(或负)惯性指数为的元二次型,这类二次型是正定二次型或负定二次型

正定二次型

• 设二次形,其中,如果对于任意的都有,称为正定二次型
• 其中是正定矩阵,显然:当且仅当

小结

• 虽然在定义上并没有直接说明正定二次型的标准形项数为且都同号,但是通过推理可以得出此结论

可逆线性变换不改变二次型的正定性

• 若是正定的,经过可逆变换的,(其中)也是正定的
• 类似的,若是不正定的,则也是不正定的
• 用矩阵描述:若,且可逆,则有相同的正定性
• 证明:

• 对于可逆矩阵,和任意非零向量,有

• 因为可逆,齐次线性方程只有零解
• 从而,一定由

• 设可逆线性变换将线性变换为,,其中,为维列向量,
• 为证明是正定的,就是要证明

• =
• 记,前面已经讨论过,从而列向量
• (由的正定性)
• 从而,二次型依然是正定的

• 若不是正定的,则需证明 s.t.

• 设非零向量设,令,则,则=
• 说明不满足正定条件,是非正定的

二次型是正定的充要条件

• 元实二次型是正定的当且仅当的正惯性指数为

• 若二次型的正惯性指数为,则是正定二次型
• 若是正定二次型,则二次型的正惯性指数为

• 正惯性指数为的等价描述:

1. 规范形系数全为1
2. 标准形所有系数为正数

• 证明:

• 设可逆线性变换将二次型化为标准形==,=
• 充分性

• 设标准形系数,则任意,满足,从而就是正定的

• 必要性

• 用反正法证明,在是正定并且标准形存在负系数的情况下,找到一个非零向量能使(或找到一个非零向量使即可完成证明
• 假设是正定的,且存在,对应
• 取时(其中是单位坐标向量),,==,
• 显然,说明不是正定的;这与正定矛盾,从而

• 事实上,这个证明过程可以从标准形开始,而不需要关心线性变换,因为任意二次型总是能够标准化,并且(可逆线性变换)标准化前后有相同的正定性

推论:正定矩阵和特征值

• 对称阵为正定的充要条件是的特征值全为正

• 的特征值构成的对角阵是的一个标准形二次型的矩阵,其正惯性指数等于对角元素中的正数个数
• 由惯性定理,的正惯性指数和其任意标准形的正惯性指数一致,
• 所以,若的特征值全为正,则的正惯性系数为,从而是正定的,是正定的

正定二次型(正定矩阵)性质

1. 元二次型=是正定二次型 是正定矩阵
2. 且

• 证明:

• 因为是正定的,即当时恒满足,如果能够找到合适的非零向量使得,那么自然得证明了
• 令(只有第个元素是非零元素,而且等于1,是单位坐标向量),
• 从而,又,
• 所以,
• 

3. 矩阵的特征值均大于0(上一节讨论过)
4. 和同阶单位阵合同

• 正定二次型的正惯性指数为,所以(其标准形矩阵全为正数),其规范形的矩阵就是单位阵
• 所以矩阵与阶单位阵合同,即存在可逆矩阵使得

5. 存在可逆矩阵,使得,即矩阵可以表示为两个互为转置矩阵的可逆矩阵的乘积

• 由于,即存在可逆矩阵使得
• 从而
• 取,即

负定二次型

• 二次形,如果对于任意的都有,称为正定二次型
• 矩阵是负定矩阵

负定二次型判定条件

• 和正定二次型的判定条件相仿:
• 是负定二次型是负定矩阵

• 矩阵的特征值均为负
• 的负惯性指数

k阶顺序主子式

• 设为阶矩阵,正整数,则的阶顺序主子式定义为的前行和前列的交集元素,简称主子式

• 

• 一个阶方阵只有个主子式,且阶主子式是本身
• 主子式是阶子式中的一种,它们的结果都是一个数

赫尔维茨定理:主子式判定二次型正定性和负定性

• 对称阵是正定的当且仅当的全部主子式均大于0,即

• ,

• 对称阵是的负定的充要条件是奇数阶主子式为负,偶数阶主子式为正,即

• ,
• 可以更紧凑地表示为,

二次型分类小结

有定二次型

• 设实二次型对于任意,:

• 若恒有,则是正定二次型,为正定矩阵
• 若恒有,则是半正定二次型,为半正定矩阵
• 若恒有,则称为负定二次型,为负定矩阵
• 若恒有,则称是半负定二次型,称为半负定矩阵

• 上述4类情况 地二次型是有定的

不定二次型

• 若二次型不是有定的,称为不定二次型