文章目录

• 平面上点到直线的距离
• 点到平面的距离

• 小结

• 角平分面问题

• 例

• 点到直线的距离

平面上点到直线的距离

• 设坐标平面上有点和直线,不全为0
• 点到直线的的距离的算法推导如下

• 作直线通过点,并且和直线垂直,设垂足为
• 令:(0),所求的就是
• 由直线垂直对应的方程关系可设直线的方程为(1)

• 因为在上,从而(1-1)
• 两式相减,得(1-2)
• 将代入到(1-2),得=0(1-3)

• 又因为还在上,从而,从而(1-4),
• 构造,由(1-4),得=(1-5),即(1-6)

• 将(1-3)两边平方加上(1-6)两边平方,整理得
• =(1-7);代入(0),得=
• 所以=
• ==(1-8)

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• 平面上点到直线的距离
• 点到平面的距离

• 小结

• 角平分面问题

• 例

• 点到直线的距离

点到平面的距离

• 设是平面(1)外一点,求到的距离

• 设平面的法向量为(1-1),其朝向记为,也是的法向量,其朝向记为
• 我们只需要讨论其中的一种情况,另一种情况由于条件的对称性,同理,具有相同的结论

• 下面讨论点分别位于侧时的情形

• 将位于侧时的,记为,位于侧时记为

• 分析可知,法向量和的夹角,和的夹角为

• 距离分别记为(2)和(3)

• 其中,即,从而(4)
• 另一方面,,即,从而=(5)

• 从而的计算公式形式一致,因此点到的距离公式为:(6)

小结

• (7)
• ===(8)
• 将(1-1),(7)带入(8):得式(9)

• 由于,所以(10),即(10-1)
• 所以有(11)

角平分面问题

• 平面的角平分上的点到两平面的距离相等(点线距问题),来建立方程

例

• 点到的距离:

点到直线的距离

• 设是直线外的一点
• 是直线:上的一点,求点到直线的距离

• 直线的方向向量为(1),因此可以在直线上截取两点构造和相等的向量
• 不妨取,则=
• 又=(2),记为=
• 由向量积的几何意义可知,为以为邻边的平行四边形的面积
• 又=,所以=(3),再找到直线上的一点,例如代入点,可以算出具体的向量

• =
• =

• 即=