循环冗余校验（ CRC)
原理:
利用CRC码检错的过程，在发送端根据要传送的k位二进制码序列，以一定的规则产生一个校验用的r位监督码(CRC码)，附在原始信息后边，构成一个新的二进制码序列数共k+r位，然后发送出去。在接收端，根据信息码和CRC码之间所遵循的规则进行检验，以确定传送中是否出错。这个规则，在差错控制理论中称为“生成多项式”。
运算：
这里的除是指“模2除法”
过程：
到达接收端后，把接收到的新帧除以选定的除数
因为在发送端发送数据帧之前加了一个数，做了“去余”处理，所以结果应该没有余数；如果有余数，代表出现错误
模2除法：在求余数时用模2减
例子：
CRC码的编码步骤
1.先求这个式子的r的最大值
2.然后找到G（X) [这个好像是直接查就行了]多项式除数转换：
3.然后在有效信息后面补r个0
4.案例如图
这个时候把之前的3个0替换成010就好了 这时候，1100010就是crc编码
注意：余数的位数只能比除数得位数少一位，否则前面补零；FSC规定最高位最低位必须为1
计算题：
1.（搜狗百科例题） 被校验的数据M（x）=1000，选择生成多项式为G（x）=x3+x+1，问，循环冗余校验码时多少？答：G（x）=x3+x+1对应二进制数为1011；四位 得余数：1000000 B 除 1011B–>余数得101B，即校验码为101B; (B代表二进制) 所以循环冗余校验码为：1000101B （验证：1000101B 除 1011B–> 余数 = 0）
- 假设CRC生成多项式为G(X)=X4+X3+1，求二进制序列10110011得CRC校验码？答：G(X)=X4+X3+1对应二进制数为11001 101100110000B 除 11001B 得余数 0100B 所以：101100110100B
- （牛客网）要发送的数据为11001001，采用CRC的生成多项式是P(X)=X3+X+1,则应添加在数据后面的余数为?答：1011；11001001000B除1011B余数得001B
海明码的编码和校验方法
海明码简介
海明码是由Richard Hanming于1950年提出的，能发现两位错误，纠正一位错误。
海明码的码组长度需要符合：2^r – 1 （r代表校验位个数）
为什么是这个公式呢？因为：只有这样才能保证校验位足够覆盖整个需要校验的码组。需要符合：2^r – 1 （r代表校验位个数）
海明码的计算
设欲检测的二进制代码为n位，为使其具有纠错能力，需要添加k位检测位，组成n+k位的代码。为了能准确对错误定位以及指出代码没错，新添加的检测位数k应满足：2k ≥ n+k+1 由此关系可求得不同代码长度n所需要检测位的位数k。
海明码的编码规则如下：
设k个校验位为Pk,Pk-1,·····,P1， n个数据位为 Dn-1,Dn-2,·····,D1,D0，对应的海明码为Hn+k,Hn+k-1,······,H1，那么 （1）Pi在海明码的第2i-1位置，比如P1，21-1=1，所以在H1的位置。 （2）海明码中的任何一位都是由若干个校验位来校验的。其对应关系如下：被校验的海明位的下标等于所有参与校验该为的校验位的下标之和，而校验位由自身校验。比如H12，下标为12，等于8+4，所以是海明码的第8、第4位校验位来检测的。
举例 对于8位的数据位，进行海明校验需要4个校验位（2k ≥ n+k+1，24 ≥ 8+4+1）。令数据位为D7,D6,D5,D4,D3,D2,D1,D0，校验位为P4,P3,P2,P1，形成的海明码为H12,H11,····,H1，则编码过程如下： （1）确定D与P在海明码中的位置
（2）计算校验位
这里主要讲一种简易的计算校验位的方法： 第一个校验位P1是位于H1的位置，它检验的位置是H1,H3,H5,H7,H9,H11，也就是读一位，隔一位，··· 第二个校验位P2是位于H2的位置，它检验的位置是H2,H3,H6,H7,H10,H11，也就是读两位，隔两位，··· 第三个校验位P3是位于H4的位置，它检验的位置是H4,H5,H6,H7,H12，也就是读四位，隔四位，··· 第四个校验位P4是位于H8的位置，它检验的位置是H8,H9,H10,H11,H12，也就是读八位，隔八位，··· 以此类推，就可以轻易得知，第n位校验位校验的海明位是，从自身开始，读2n-1位，隔2n-1位，·····，直到读到尽头。
知道校验位后 ，对校验位对应的数据进行异或运算（默认是偶校验），即 P1=D0⊕D1⊕D3⊕D4⊕D6P2=D0⊕D2⊕D3⊕D5⊕D6P3=D1⊕D2⊕D3⊕D7P4=D4⊕D5⊕D6⊕D7
若采用奇校验，则将各校验位的偶校验值取反即可。
（3）检验错误。对使用海明码的数据进行校验差错检测很简单，根据上面的方法，我们可以很轻易得知每个校验位负责检测的海明位，只要对其进行异或运算即可。 G4=P4⊕D4⊕D5⊕D6⊕D7G3=P3=D1⊕D2⊕D3⊕D7G2=D2⊕D2⊕D3⊕D5⊕D6G1=D1⊕D1⊕D3⊕D4⊕D6
若采用偶校验，则G4G3G2G1全为0是表示数据没有错误，奇校验应全为1，否则即出现了错误。当发生错误时，将G4G3G2G1的值转化为十进制即可知道发生错误的位置，如G4G3G2G1=0110，即表示H6这个位置的数据发生了错误，只要将其取反即可纠正。