第三章 重积分
0 本章节的基础理论知识
原函数与不定积分
设函数f(x)定义在某区间Ⅰ上若存在可导函数F(x)，对于该区间上任意一点都有 F′(x) = f(x) 成立，则称 F(x)是f(x) 在区间Ⅰ上的一个原函数。 于是称∫f(x)dx= F(x) + C为f(x) 在区间Ⅰ上的不定积分，其中C为任意常数(后面不再强调)。
PS：谈到函数f(x)的原函数和不定积分，必须指明f(x)所在定义的区间。
我们通过对概念的说明去加以区别： 1.原函数：若f(x)在区间Ⅰ上有原函数F(x)，则f(x)就有无限多个原函数，且任意两个原函数之间仅相差 一个常数。
所以f(x)的全体原函数所构成的集合为{F(x) + C | − ∞ ＜ C ＜ + ∞}
2.不定积分：设F(x),H(x)是f(x)在区间Ⅰ上的原函数，虽有∫f(x)dx=F(x) + C1 和∫f(x)dx=H(x) + C2，但 F(x)=H(x)不一定成立，因为常数C一般是不相同的。 由此可见，二者在概念上存在较大的差异：前者是个无限集，后者是前者中的一个元素。
1 二重积分
1.1 二重积分的概念与性质
定积分: 长度为[a,b], 且线密度 f(x) 的质线的质量, 其中 dx 是表示一个很小区间的微元:
对于二重积分；积分区域的面积 x 被积函数 就是二重积分的意义；被积函数可以是高度、密度等；这样计算出的结果就是体积和质量。
二重积分: 区域为 D, 且面密度为 f(x,y)的平面薄片的质量, 其中 dσ 表示一个很小区域的面积:
1.1.1 二重积分概念的引入
参考这位大佬：https://zhuanlan.zhihu.com/p/25783073
平面薄板的质量
如何计算质量分布非均匀薄板的质量呢?
- 分割 - 将区域 D 分为 n 个区域
- 取近似 - 求每个小区域的质量(面密度*面积)
- 求和 - 将这些区域的质量相加
- 取极限 - 这些薄板的直径趋向
1.1.2 二重积分的定义
通常也都标识为：
由以上定义得以下结论：
1）若函数f(x,y)在有界闭区域D上可积，则f(x,y)在D上有界。
2）若函数f(x,y)在有界闭区域D上连续，则f(x,y)在D上可积。
注意： f(x,y)在闭区间 D上连续上时， ∬f(x,y)dσ 必存在。
1.1.3 二重积分的性质
[1]被积函数的常数因子可以提到二重积分的外面
[2]被积函数和（或差）的二重积分等于各个函数二重积分的和（或差）
[2]若闭区域D可以分为D1和D2（具有可加性）
[3]闭区域D的面积σ
[4]若闭区域D上
则：
其绝对值形式为：
可推导得出：
[5]估值不等式
设M和m分别是f(x,y)在闭区域D上的最大值和最小值，σ为闭区域D的面积，则：
[6]二重积分中值定理
设函数f(x,y)在闭区间D上连续，σ为闭区域D的面积，则在D上至少存在一点(ξ,η)，使得：
1.1.4 直角坐标系下计算二重积分
X型（什么型不重要）
Y型（什么型不重要）
备注：先计算的比称为内层积分，在计算内外层积分时将另一个未知数作为常数看待。
1.1.5 对称性
设函数f(x,y)是平面闭区域D上的二元函数；则有如下性质：
【1】积分区域关于Y轴对称
【2】积分区域关于X轴对称
【3】积分区域关于原点对称
1.1.6 极坐标系下计算二重积分
常用于圆形、扇形或者环形的积分区域的二重积分。
直角坐标转化为极坐标
（1）极坐标和直角坐标之间的关系：x=rcos θ；y=rsin θ。注意同时变化对应的积分上下界。
(r,θ)称作点的极坐标表示。
原点O称为极点。
（2）二重积分当变量从直角坐标变到极坐标时，计算公式：
特别注意：是
rdrdθ而不是drdθ
习惯上：我们一般先对r、后对θ进行积分。
极坐标下积分边界的确定
【1】极点在积分区域外的情况
被积函数转换：
代入：
【2】极点在积分区域内的情况
被积函数转换：
代入：
【3】极点在积分区域边界上的情况
画的丑了点，意会一下哈~~
被积函数转换：
代入：
1.1.7 例题1
计算二重积分
其中，D：
解：
由边界方程得区域D边界的方程式为：
这是一个圆心在(1,0),半径为1的圆。在极坐标下该边界方程式可表示为：
根据圆的方程我们可以画出图像：
于是：
1.1.8 练习题
[1]
[2]
[3]
[4]
[5]
[6]
[7]
[8]
2 三重积分
2.1三重积分概念的引入
先来回顾一下, 让我们用物理上的质量为例来理解定积分和二重积分的概念会十分有帮助:
- 定积分: 长度为[a,b], 且线密度 f(x) 的质线的质量, 其中 dx 是表示一个很小区间的微元。
- 二重积分: 区域为 D, 且面密度为 f(x,y)的平面薄片的质量, 其中 dσ 表示一个很小区域的面积。
- 三重积分: 从上面可以看出积分是用来计算某个区域上分布律非均匀的某种量的总和, 那对于三重积分的物理意义, 用类比的思想来考虑, 那就是计算三维物体的质量. 也就是对于空间区域为Ω, 且以 f(x,y,z) 为体密度的立体质量:
其中 dV 表示一个很小的方块体积, 乘以体密度 f(x,y,z) 就等于在 (x,y,z) 处质量, 取小块直径极限为 0 , 在空间区域 Ω 累加求和, 即可得出该物体质量。
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曲顶柱体的体积
思想与上面一样, 分割取近似, 作和求极限
2.2 三重积分的定义
在直角坐标系下：
当f(x,y,z)=1时，则：
代表Ω的体积。
2.3 三重积分的性质
基本等同二重积分的性质。
对称性
当积分区域关于坐标面对称，被积函数f(x,y,z)具有奇偶性时,可以利用奇偶性的特点简化计算过程。
1)若积分区域Ω关于Oxy平面将Ω分为Ω_上和Ω_下两个对称的部分：
a. 此时，若被积函数f(x,y,z)关于z是奇函数；即f(x,y,-z) = -f(x,y,z);则：
b. 此时，若被积函数f(x,y,z)关于z是偶函数；即f(x,y,-z) = f(x,y,z);则：
其他对称性质依此类推。
2.4 直角坐标系下三重积分的计算
重要：在做三重积分的计算前必须先画图；图的准确性是计算正确的绝对前提。
2.4.1 先一后二
计算三重积分时，先固定x和y(即将x和y当作常数)；则f(x,y,z)是关于z的函数，将它在闭区域[z1(x,y),z2(x,y)]上求定积分，积分变量为z，积分结果是关于x和y的函数记做：
然后，在D_xy上对F(x,y)做二重积分（D_xy是Ω在Oxy平面上的投影），则有：
通常写做：
备注：D_xy是Ω在Oxy平面上的投影；即将积分区域的曲面方程式与z=0联立消除变量z的方程。
2.4.2 例题
解：【先一后二】
1.画出积分区域Ω的图像（把x,y看做常数，得到积分区域Ω在z轴上的取值范围）：
2.由图像得积分区域Ω在z轴上的积分上下界取值：
因此，三重积分表达式可以变化为：
计算得：
3.画出D_xy的图形并利用极坐标计算关于D_xy的二重积分
4.计算二重积分
2.4.3 先二后一
考虑另外一种计算三重积分的方法：
2.4.4 例题
解：【先二后一】
1.画出积分区域Ω的图像（用平面z=z(z∈[0,4])截Ω得截面D_z）：
2.由图像得三重积分的上下界及表达式
3.计算内层积分
这明显是D_z代表的圆的面积：
4.再计算外层积分
备注：选择合适的积分顺序可以降低求解过程的复杂程度。
2.5 柱面坐标计算下三重积分的计算
2.5.1 柱面坐标的引入
2.5.2 柱面坐标计算转换
2.5.3 练习题
[1]
[2]
[3]
[4]
[5]
[6]
3 重积分的应用
3.1 曲面的面积
设曲面∑由方程z=f(x,y) ,(x,y)∈D给出（D是∑在Oxy平面的投影区域）；则该曲面对应的表面积微元dS:
因此曲面∑面积S：
3.1.1 例题
解：
1.先画出积分区域的图形
2.根据题目得出球面方程
它是球心在原点，半径为R的球；由球面的对称性可知上半球面：
其表面积为A/2;该半球面在Oxy平面的投影为区域D：
3.运用曲面面积公式
4.计算z_x和z_y带入(分部积分法+换元法)
$$
z_x &= \frac{-x}{\sqrt{R^2-x^2-y^2}}; \\ z_y &= \frac{-y}{\sqrt{R^2-x^2-y^2}};
$$
5.转化为极坐标计算
A &= 2\iint_{D}{\sqrt{1 + (z_x)^2 + (z_y)^2} dxdy} = 2\iint_{D}{\frac{R}{\sqrt{R2-x2-y^2}} dxdy} \\ &= 2R\int_{0}^{2\pi}{d\theta} \int_{0}{R}{\frac{1}{R2-r^2} rdr} = 4\pi R
3.1.2 练习题
[1]
本人水平有限，文章中难免有误，真诚欢迎大家斧正~
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