不定积分

例：设$f(\sin^{2}x)= \frac{x}{\sin x}$，求$\int \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{1-x}}f(x)dx$

令$u=\sin^{2}x$，则有 $$\sin x=\sqrt{u},x=\arcsin \sqrt{u},f(x)= \frac{\arcsin \sqrt{x}}{\sqrt{x}}$$ 代入得 $$ \begin{aligned} \int \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{1-x}}f(x)dx&=\int\frac{\arcsin \sqrt{x}}{\sqrt{1-x}}dx\ &=-2\int \arcsin \sqrt{x}d \sqrt{1-x}\ &=-2\sqrt{1-x}\arcsin \sqrt{x}+2\int \sqrt{1-x} \frac{1}{\sqrt{1-x}}d \sqrt{x}\ &=-2\sqrt{1-x}\arcsin \sqrt{x}+2\sqrt{x}+C \end{aligned} $$

定积分的几何意义

设$\int^{b}_{a}f(x)dx$存在

• 若在$[a,b]$上$f(x)\geq0$，则$\int^{b}_{a}f(x)dx$的值等于以曲线$y=f(x),x=a,x=b$及$x$轴围成的曲边梯形的面积
• 若在$[a,b]$上$f(x)\leq0$，则$\int^{b}_{a}f(x)dx$的值等于以曲线$y=f(x),x=a,x=b$及$x$轴围成的曲边梯形的面积的负值
• 若在$[a,b]$上$f(x)$的值有正有负，则$\int^{b}_{a}f(x)dx$的值等于$x$轴上方的面积减去$x$轴下方的面积所得之差

变上限积分

例16：求极限$\begin{aligned}\lim\limits_{x\to0+}\frac{\int^{x}_{0}\sqrt{x-t}e^{t}dt}{\sqrt{x ^{3}}}\end{aligned}$

注意该积分中值定理要求$f(x),g(x)$连续，且$g(x)$不变号

$$ \begin{aligned} 原式&=\lim\limits_{x\to0+}\frac{e^{\xi }\int^{x}{0}\sqrt{x-t}dt}{\sqrt{x ^{3}}}\ &=\lim\limits{x\to0+}\frac{- \frac{2}{3}(x-t)^{\frac{3}{2}}\Big|^{x}{0}}{\sqrt{x ^{3}}}\ &=\lim\limits{x\to0+}\frac{\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}}\ &=\frac{2}{3} \end{aligned} $$

不一定对$t$积分含有$x$就一定要把$x$弄出来，把$x$当做常数能积出来就不需要其他操作

无界函数的反常积分

反常积分在某区间收敛，即意味着该反常积分在积分区间的任一子区间都收敛

定积分应用没啥补充 说一下如果题目比较简单，带一般的公式就行，大部分题用公式都能算出来，不太需要二重积分，如果用公式做不出来，再考虑二重积分的方法 物理应用上注意理解元素法，会用$dx,dy$，求出一小个元素的参数然后积分就行