文章目录
- abstract
- 命题公式及其赋值
- 命题常项
- 命题变项
- 命题公式
- 合式公式(命题公式)
- 限定基本联结词的合适公式的定义
- 合式公式中的0和1
- 子公式
- **公式的层次定义**
- 分层加括号
- 命题公式的赋值和解释
- 成真赋值@成假赋值
- 公式的书写规范@括号的省略
- 真值表
- 赋值方法数量
- 构造真值表
- 公式分类
abstract
DM@数理逻辑@命题公式及其赋值@真值表@公式分类
命题公式及其赋值
命题常项
- 简单命题是命题逻辑中最基本的研究单位,其真值式确定的,称为命题常项或命题常元
- 命题常项相当于初等数学中的常数(0,1)
命题变项
- 对应于初等数学中的变量,命题逻辑中有:取值1(真)或0(假)的变元称为命题变项或命题变元
- 用命题变项表示真值可以变换的陈述句
- 命题变项不是命题,其和命题常项的关系如同初等数学中变量与常量的关系
命题公式
合式公式(命题公式)
- 将命题变相用联结词和圆括号按一定逻辑关系联系起来的符号串,称为合式公式
- 单个命题变项是合式公式,且称为原子命题公式
限定基本联结词的合适公式的定义
- 当使用联结词集{
}时,合式公式定义(递归定义)为:
- 单个命题变项是合式公式
- 若
都是合式公式,则
,
,
,
是合式公式.不妨称这几个公式为一层公式
- 有限次应用(2)中的方式形成的符号串是合式公式
- 合式公式也成为命题公式,简称公式
- Note:
- 析取联结词
不能省略不写
- 任意两个不重叠的子公式都要有二元联结词(
中的联结词)链接,例如
就不是合式公式,而
是合式公式
合式公式中的0和1
- 合适公式可以出现0,1它们分别视为
,
;两种表示可以相互替换和解释
子公式
- 设
为合式公式,
是
公式的层次定义
- 若公式
是单个命题变项,则
- 设
是
层公式,则
是
层公式
- 称设
分别是
层公式,且
,则
是
)
- 即,
,
,
,
的层数是
分层加括号
- 例如:
可以通过加括号处理,(对1层及上的子公式加括号)使得计数其层数更加容易:
,可以看到,该公式的最深称括号有3层,各层如下
- 0层:
,(我们通常对0层不感兴趣)
- 1层:
,
- 2层:
- 3层:
- 例:
,可以加括号为:
;可见其有4层
命题公式的赋值和解释
- 设
是出现在公式
),分别为这
- 写法:
可以简写为
成真赋值@成假赋值
- 若指定一组值使得
,称这组值为
- 若
,则称这组值为
的成假赋值
公式的书写规范@括号的省略
- 为了方便起见,一层公式单独出现的时候,可以省略括号不写,
- 公式中不影响运算次序的括号也可以省去,例如
可以简写为
真值表
- 反映公式
赋值方法数量
个命题变项(构成)的公式有
种不同的赋值方法
- 将
,意味着
构造真值表
总体步骤是,列出个不同的赋值,分别计算它们的真值,具体的操作如下:
- 找出公式中所有的命题变项
,列出
- 赋值从
,按二进制加法加1生成下一个赋值,到
为止,恰好
个赋值
- 公式层次分析:从低层次到高层的顺序分解公式的各个层次
- 对应各个赋值计算各个层次的真值,那么最后一个层次的真值就是整个公式的真值
例:
000 |
1 |
1 |
0 |
1 |
001 |
1 |
0 |
0 |
1 |
010 |
1 |
1 |
1 |
1 |
011 |
1 |
0 |
1 |
0 |
100 |
0 |
0 |
0 |
1 |
101 |
0 |
0 |
0 |
1 |
110 |
0 |
1 |
0 |
1 |
111 |
0 |
0 |
0 |
1 |
- 第1列是赋值,第2,3列是第一层子式,第3列示第3层子式,最后一列是整个公式的真值
- 其中非首尾的各列是为了提高计算正确率的辅助列,并不是一个真值表必须的列
- 第一列也可以看作是0层列,低层的列可以帮助计算高层的列,减少重复计算
公式分类
- 若
- 若
- 若