文章目录

abstract

• 从幂到对数的引入介绍
• 对数相关性质公式
• 对数函数及其性质

幂指数和对数

• 在指数函数中,对于实数集内的每一个指,正实数集内都有唯一确定的值和它对应;反之,对于正实数集内的每一个确定的值,在内部都有唯一确定的值和它对应
• **幂指数**又称为"以为底的对数",例如,那么是以为底的的对数
• 指数函数相关内容

对数的表示

• 通常用符号(logarithm的缩写)表示对数
• 一般地,"以为底的对数"记为,即

• 其中叫做对数的底数(基数),叫做真数,读作"等于以为底的对数"
• 例如,是以为底的的对数可以表示为

• 显然,对数表达式是指数函数式的另一种表达形式,例如

1. (1)
2. (2)

• (1),(2)表示的是的关系是同一关系

指数对数得重要表示形式👺

• 根据对数的定义,可以得到以下对数恒等式

• 将(2)代入(1),即得
• 例如=,,

• 在高等数学中,利用次公式可以转换和解决许多问题,例如求极限

对数的性质

• 设,具有性质:

• 零和负数没有对数,即

• 若,则没有对数,
• 由对数定义:,而,所以,从而,这和假设矛盾,所以假设不成立,即

• 1的对数为0(任意底的1的对数为0),即
• 底的对数为1,即

对数的运算👺

• 上述运算性质容易用对数的定义证明,但是要注意

• 成立的条件(等式两端都有意义)
• 公式的逆用(用于化简和证明)

• 对数把注意力从平常的数转移到了幂。只要使用相同的底数，就会使特定运算更容易

对数和差公式(真数积商公式)

• 这里的和差指的是对数之间的和差,而不是真数和差
• =,
• =,

基变换@换底公式@对数商公式

• =
• 证明:

• 设,则(1)
• (1)两边取"以为底的对数",得
• ,所以

• 通常取或,使得非自然对数和常用对数能够转换为这两类对数计算

• ==

指系(次方公式)

• =,,

• 特别的,=,

证明

• 证法1:由对数定义,令,,,即=

• 两边同时取为底的对数:=,即

• 证法2:利用换地公式证明

• 证:令,==

还原公式

• =,

其他公式

互换公式

• =,

• 例如=;===

• 证1:(推荐)

• 令,,则,,即

• =;
• =

• 显然,即命题成立

• 证2:

• 令,
• 由对数定义,;
• 若或时,
• 否则:

• 由换底公式,两式相除:=
• =,即=;所以

• 综上命题成立

倒数公式

• =
• 证明:===

链式公式

• =
• 证明:==
• 推广:=

• =

对数函数

• 一般地,函数,称为对数函数

• 定义域为
• 值域为

• 函数总是过,

单调性

• 对于,在定义域内

• 时,函数为减函数
• 时,函数为增函数

对数函数和指数函数的关系

• 函数,和,互为反函数
• 它们的图象关于对称

关于轴对称的对数函数

• 函数和关于对称
• 由对数性质,,显然,从而两函数关于轴对称

同底指数和对数函数 交点数图象性质

• 当时,和交于三点

• 时交于一点；
• 时交于两点；
• 时交于一点；
• 时则无交点。