【高等数学基础进阶】多元函数的极值与最值-摩杜云开发者社区

无约束极值

定义：若在点$(x_{0},y_{0})$的某邻域内恒成立不等式

f(x,y)\leq f(x_{0},y_{0})\quad (f(x,y)\geq f(x_{0},y_{0}))

则称$f$在点$(x_{0},y_{0})$取得极大值（极小值），点$(x_{0},y_{0})$称为$f$的极大值点（极小值点），极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点

定理（极值的必要条件）：设$z=f(x,y)$在点$(x_{0},y_{0})$存在偏导数，且$(x_{0},y_{0})$为$f(x,y)$的极值点，则

f_{x}(x_{0},y_{0})=0,f_{y}(x_{0},y_{0})=0

也可表述为

$f(x,y_{0})$在$x=x_{0}$处的导数等于$0$，$f(x_{0},y)$在$y=y_{0}$处的导数等于$0$

极值点只可能在驻点和$f_{x},f_{y}$至少有一个不存在的点

定理（极值的充分条件）：设$z=f(x,y)$在点$P(x_{0},y_{0})$的某邻域内有二阶连续偏导数，又$f_{x}(x_{0},y_{0})=f_{y}(x_{0},y_{0})=0$，记$A=f_{xx}(x_{0},y_{0}),B=f_{xy}(x_{0},y_{0}),C=f_{yy}(x_{0},y_{0})$，则

当$AC-B^{2}>0$时，有极值，若$A>0$为极小值，若$A<0$为极大值
当$AC-B^{2}<0$时，无极值
当$AC-B^{2}=0$时，不一定（一般用定义判定）

条件极值与拉格朗日乘数法

函数$f(x,y)$在条件$\phi (x,y)=0$条件下的极值

令$F(x,y,\lambda)=f(x,y)+\lambda \phi (x,y)$

\left{\begin{aligned}&F_{x}=f(x,y)+\lambda \phi_{x}(x,y)=0\

&F_{y}=f_{y}(x,y)+\lambda \phi_{y}(x,y)=0\

&F_{\lambda}=\phi(x,y)=0\end{aligned}\right.

函数$f(x,y,z)$在条件$\phi(x,y,z)=0,\psi (x,y,z)=0$条件下的条件极值

令$F(x,y,z,\lambda,\mu)=f(x,y,z)+\lambda \phi(x,y,z)+\mu \psi (x,y,z)$

设给定目标函数$f(x,y)$，约束条件为$\phi(x,y)=0$

如图所示，曲线$L$为约束条件$\phi(x,y)=0$，$f(x,y)=C$为目标函数的等值线族

在$f(x,y),\phi(x,y)$偏导数都连续的条件下，目标函数$f(x,y)$在约束条件$\phi(x,y)=0$下的可能极值点$M(x_0,y_0)$，从几何上看，必是目标函数等值线曲线族中与约束条件相切的那个切点

因为两曲线在切点处必有公切线，所以目标函数等值线在点$M(x_0,y_0)$处法向量${f'_x(x_0,y_0),f'_y(x_0,y_0)}$与约束条件曲线在点$M(x_0,y_0)$处法向量${\phi'_x(x_0,y_0),\phi'_y(x_0,y_0)}$平行，即

$$\begin{aligned}\frac{f'_x(x_0,y_0)}{\phi'_x(x_0,y_0)}=\frac{f'_y(x_0,y_0)}{\phi'_y(x_0,y_0)}\end{aligned}$$

也就是说存在实数$\lambda$，使下式成立

$${f'_x(x_0,y_0),f'_y(x_0,y_0)}+\lambda{\phi'_x(x_0,y_0),\phi'_y(x_0,y_0)}=0$$

需要注意的是，目标函数等值线与约束条件曲线的切点未必就是目标函数$f(x,y)$在约束条件$\phi(x,y)=0$下的极值点（如图中的$M_2$点）

链接：拉格朗日乘数法_百度百科 (baidu.com)

最大最小值

求连续函数$f(x,y)$在有界闭域$D$上的最大最小值

求$f(x,y)$在$D$内部可能的极值点（无约束极值）
求$f(x,y)$在$D$的边界的最大最小值（条件极值）
比较

应用题

建立函数关系
求$f(x,y)$在$D$内部可能的极值点（无约束极值）
求$f(x,y)$在$D$的边界的最大最小值（条件极值）
比较

常考题型方法与技巧

求极值（无条件）

例1：设函数$z=f(x,y)$的全微分为$dz=xdx+ydy$，证明点$(0,0)$是$f(x,y)$的极小值点

可以用极值的充分条件，这里不展示过程。这里展示偏积分的方法得到原函数

函数$z=f(x,y)$的全微分为$dz=xdx+ydy$，可知

z_{x}=x,z_{y}=y

由$z_{x}=x$，偏积分得

z=\int_{}^{}xdx=\frac{1}{2}x^{2}+\phi(y)

再代入$z_{y}=y$，确定$\phi(y)$

\begin{aligned}

z_{y}&=\phi'(y)\

\Rightarrow \phi'(y)&=y\

\int_{}^{}\phi'(y)dy&=\int_{}^{}ydy\

\phi(y)&=\frac{1}{2}y^{2}+C\

z&=\frac{1}{2}x^{2}+ \frac{1}{2}y^{2}+C

\end{aligned}

根据定义后面不再展示过程

还可以通过凑微分得到原函数

\begin{aligned}

dz&=xdx+ydy\

dz&=d (\frac{1}{2}x^{2})+d (\frac{1}{2}y^{2})\

dz&=d(\frac{1}{2}x^{2}+ \frac{1}{2}y^{2})\

z&= \frac{1}{2}x^{2}+ \frac{1}{2}y^{2}+C

\end{aligned}

根据定义后面不再展示过程

求最大最小值

例2：求函数$u=x^{2}+y^{2}+z^{2}$在约束条件下$z=x^{2}+y^{2}$和$x+y+z=4$下的最大值和最小值

设

F(x,y,z,\lambda,\mu)=x^{2}+y^{2}+z^{2}+\lambda(x^{2}+y^{2}-z)+\mu(x+y+z-4)

有

\left{\begin{aligned}

&F_{x}=2x+2\lambda x+\mu=0\

&F_{y}=2y+2\lambda y+\mu=0\

&F_{z}=2z-\lambda+\mu=0\

&F_\lambda=x^{2}+y^{2}-z=0\

&F_{\mu}=x+y+z-4=0\end{aligned}\right.

解得$(x_{1},y_{1},z_{1})=(1,1,2),(x_{2},y_{2},z_{2})=(-2,-2,8)$

故所求的最大值为$72$，最小值为$6$

例3：已知$z=f(x,y)$的全微分$dz=2xdx-2ydy$且$f(1,1)=2$。求$f(x,y)$在$\begin{aligned} D=\left{(x,y)\Big|_{}^{}x^{2}+ \frac{y^{2}}{4} \leq 1\right}\end{aligned}$上的最大最小值

先找$f(x,y)$，这里用凑微分（偏积分也行）

\begin{aligned}

dz&=2xdx-2ydy\

dz&=dx^{2}-dy^{2}\

dz&=d(x^{2}-y^{2})\

z&=x^{2}-y^{2}+C\

&代入f(1,1)=2\

2&=1-1+C \Rightarrow C=2\

z&=x^{2}-y^{2}+2

\end{aligned}

令$\begin{aligned} \frac{\partial f}{\partial x}=2x=0,\frac{\partial f}{\partial y}=-2y=0\end{aligned}$，得驻点为$(0,0)$

接下来可以用拉格朗日乘数法，运算不难，这里不展示步骤。考虑另一个思路，由于已经知道了约束条件，该约束条件可以代入$z=f(x,y)$，化条件为无条件

由于点在$x^{2}+ \frac{y^{2}}{4}=1$上，有

\begin{aligned}

z&=x^{2}-(4-4x^{2})+2\quad x \in [-1,1]\

z&=5x^{2}-2\

z_{\max}&=z \Big|_{x=\pm 1}^{}=3\

z_{\min}&=z \Big|_{x=0}^{}=-2

\end{aligned}

因此最大值为$3$，最小值为$-2$

对于圆和椭圆可以用参数方程化条件为无条件

椭圆$\begin{aligned} x^{2}+ \frac{y^{2}}{4}=1\end{aligned}$的参数方程为

\left{\begin{aligned}&x= \cos t\&y=2 \sin t\end{aligned}\right.

则

\begin{aligned}

z=f(x,y)&=x^{2}-y^{2}+2\

&=\cos ^{2}t-4\sin ^{2}t+2\

&=3-5\sin ^{2}t \quad t \in [0,2\pi]

\end{aligned}