在泰勒公式中，取x 0=0，得到的级数
称为 麦克劳林级数。函数
的麦克劳林级数是x的 幂级数，那么这种展开是唯一的，且必然与
的麦克劳林级数一致。
也就是：泰勒公式：
泰勒公式
0处具有n阶导数的函数f(x)利用关于(x-x 0)的n次 多项式来逼近函数的方法。
0的某个闭区间[a,b]上具有n阶导数，且在开区间(a,b)上具有(n+1)阶 导数，则对 闭区间[a,b]上任意一点x，成立下式：
表示f(x)的n阶导数，等号后的多项式称为函数f(x)在x 0处的泰勒展开式，剩余的R n(x)是泰勒公式的余项，是(x-x 0) n的高阶无穷小。 [1]
余项
n(x)可以写成以下几种不同的形式：
1、佩亚诺(Peano）余项：
这里只需要n阶导数存在
2、施勒米尔希-罗什(Schlomilch-Roche）余项：
[2]
3、拉格朗日（Lagrange）余项：
其中θ∈(0,1)。
4、柯西（Cauchy）余项：
其中θ∈(0,1)。
5、积分余项：
[2]
带佩亚诺余项
[1] ：
https://baike.baidu.com/item/%E6%B3%B0%E5%8B%92%E5%85%AC%E5%BC%8F/7681487