year=1900:10:1900;
 number=[78 91 105 ….每十年的人口数];
 x=1900:1:2000;
 y=interp1(year,number,x,’spline’);
 plot(year,numeber,’*’,x,y);grid on

i=imread('flowers.tif');
 [x,y,z]=cylinder;
 subplot(1,2,1),warp(x,y,z,i);
 [x,y,z]=sphere(50);
 subplot(1,2,2),warp(x,y,z,i);
 warp(x,y,z,i);

c=sym('c','real');
 x=sym('x','real');
 s=solve(x^3-x+c)

syms x t a
 f =cos(a*x)
 df =diff(f) 由findsym的规则，隐式的指定对x进行微分
 dfa=diff(f,'a') 指定对变量a进行微分
 dfa=diff(f,'a',3) 三次微分
 diff函数不仅作用在标量上，还可以在矩阵上，运算规则就是按矩阵的元素分别进行微分
 syms a x
 A=[cos(a*x),sin(a*x),-sin(a*x),cos(a*x)];
 dA=diff(A)

y=dsolve(‘Dy=f(y)’) 单个方程，单个输出
 [u,v]=dsolve(‘Du=f(u,v)’,’Dv=g(u,v)’) 2个方程，2个输出
 s=dsolve(‘Dx=f(x,y,z)’,’Dy=g(x,y,z)’,’Dz=k(x,y,z)’) 
 s.x s.y s.z 3个方程，架构数组

 dsolve('Dx=-a*x') 结果：C1*exp(-a*t) 没给定初值，所以结果中含参变量
 x=dsolve('Dx=-a*x','x(0)=1','s') 结果exp(-a*s) 给定了初值，独立变量设为s

fx=gradient(f) f是一个矢量返回f的一维数值梯度，fx对应于x方向的微分。

 [x,y]=meshgrid(-2:.2:2,-2:.2:2);
 z=x.*exp(-x.^2-y.^2);
 [px,py]=gradient(z,.2,.2);
 contour(z),hold on 画等值线
 quiver(px,py)

collect函数 collect（f，v）表示将f表示为关于符号变量v的多项式形式，即关于v合并同类项，v缺省，则用findsym确定的缺省变量
 syms x y
 f=x^2*y+y*x-x^2-2*x+1
 collect(f) 得到(-1+y)*x^2+(y-2)*x+1
 collect(f,y) 得到(x+x^2)*y+1-x^2-2*x
 expand函数 expand（f）将f展开，写成和的形式：
 syms x
 expand((x-1)^3) 得到x^3-3*x^2+3*x-1
 horner函数 horner(f)将f写成镶嵌套形式
 syms x
 horner(x^3-6*x^2) 得到(-6+x)*x^2
 factor函数 factor（f）将f转换成低阶有理多项式的乘积：
 syms x
 f=x^3-6*x^2+11*x-6
 factor(f) 得到 (x-1)*(x-2)*(x-3)
 simplify(f)函数综合化简：
 simple(f) 函数的最简形式
 syms x
 f=2*sin(x^2)+cos(3*x)
 simple(f) 如果不想看到中间过程，可z=simple(f) 有时使用两次simple命令可以得到最简式：
 如果想知道哪个简化命令得到最后结果，可以加一个参数how
 [z,how]=simple(f)

subs(f,new,old)
 f='a*x^2+b*x+c'
 subs(f,'t','x') 得到a*(t)^2+b*(t)+c subs是一个符号函数，返回一个符号变量
 subexpr函数有时matlab返回的符号表达式难以理解，用subexpr函数，可以将表达式中重复出现的子式用一个符号表示，从而简化表达形式
 c=sym('c','real');
 x=sym('x','real');
 s=solve(x^3-x+c) 
 a=subexpr(s) 得到sigma = -108*c+12*(-12+81*c^2)^(1/2)
 a =

 [ 1/6*sigma^(1/3)+2/sigma^(1/3)]
 [ -1/12*sigma^(1/3)-1/sigma^(1/3)+1/2*i*3^(1/2)*(1/6*sigma^(1/3)-2/sigma^(1/3))]
 [ -1/12*sigma^(1/3)-1/sigma^(1/3)-1/2*i*3^(1/2)*(1/6*sigma^(1/3)-2/sigma^(1/3))]

a=hilb(3)
 b=[1 2 3]'
 a/b

syms a b c real
 A=[a b c; b c a; c a b];
 [v,d]=eig(A);

vv=subexpr(v);
 vs=subs(vv,'m','sigma') 运行结果为
 vs =

 [ 1, 1, 1]
 [ -(c+(m)-a)/(c-b), -(c-(m)-a)/(c-b), 1]
 [ -(a-(m)-b)/(c-b), -(a+(m)-b)/(c-b), 1]

dd=subexpr(d);
 ds=subs(dd,’m’,’sigma’)
 运行结果为ds =

 [ (m), 0, 0]
 [ 0, -(m), 0]
 [ 0, 0, c+a+b]
 note 求特征值也可用以下命令
 f=poly(A) poly函数用来求A的特征多项式
 d=solve(f) solve（f）函数用来求多项式的解

 svd( )函数求矩阵的奇异值分解，将矩阵分解为两个正交矩阵和对角矩阵的乘积
 a=sym(hilb(2))
 [u,s,v]=svd(a)

syms a b c x
 solve(a*x^2+b*x+c) 以x为默认变量
 solve(a*x^2+b*x+c，a) 指定对a为变量
 求含有等号的方程的解（一定要加单引号）
 f=solve(‘cos(x)=sin(x)’)
 x=solve('exp(x)=tan(x)') 如果不能求得符号解，就计算可变精度解。
 求解方程组与单方程类似
 解一个三元一次方程
 v=solve('a*u^2+v^2','u-v=1','a^2-5*a+6')
 结果为v = 

 a: [4x1 sym] u: [4x1 sym] v: [4x1 sym]
 一些常用的符号运算

limit(f) 求x到0的极限
 limit(f,x,a)或limit(f,a) 求x到a的极限
 limit(f,a,’left’) limit(f,a,’right’) 求x到a的左极限和右极限
 limit(f,inf) 求x趋于无穷的极限
 符号求和symsum(s)
 symsum(s) 以默认的findsym决定的变量求和
 symsum(s,v) 以s中指定的变量v求和
 symsum(s,a,b) symsum(s,v,a,b) 从a到b的有限项求和
 syms k n
 symsum(k) 从0到k求和
 symsum(k,0,n-1) 从0到n－1求和
 symsum(1/k^2,1,inf) 无限项求和
 泰勒级数taylor(f)
 taylor(f)表示求f的5阶talor展开，可以增加参数指定展开的阶数（默认式5），也可以对于多元函数指定展开的变量，还可以指定在哪个点展开
 syms x t
 taylor(exp(-x))
 taylor(log(x),6,1) 在1点的6阶taylor展开
 taylor(x^t,3,t) 对t的3阶taylor展开
 积分变换
 fourier变换和逆变换fourier（f）
 fourier分析可以将信号转换为不同频率的正弦曲线。可对离散数据进行分析，也可对连续时间系统进行分析，特别在信号和图形处理领域。离散变换（DFT）作用于有限数据的采集，最有效的是快速fourier变换（FFT）
 F=fourier(f) 独立变量x，返回关于参数w的函数
 F=fourier(f,v) 返回函数F关于符号对象v的函数
 F=fourier(f,u,v) 对关于u的函数f进行变换，而不是缺省的w，返回函数F是关于v的函数
 syms t v w x
 fourier(1/t)
 fourier(exp(-t)*sym('Heaviside(t)'),v)
 fourier(diff(sym('F(x)')),x,w)
 Fourier逆变换
 f=ifourier(F) 缺省独立变量w，返回关于x的函数对w进行积分
 f=ifourier(F,v) 返回函数f是关于符号对象v的函数，而不是缺省的x
 f=ifourier(F,u,v) 是关于u的函数f进行变换，而不是缺省的x，返回函数f是关于v的函数
 Laplace变换和逆变换laplace(f)
 应用于连续系统（微分方程）中，可以用来求解微分方程的初值问题
 laplace(F) 缺省独立变量t，缺省返回关于s的函数L
 laplace(F,t) 返回关于t的函数L，而不是缺省的s
 laplace(F,w,z) 对函数F的自变量w积分，返回关于z的函数L
 逆变换
 F=ilaplace(L) 缺省独立变量s，返回关于t的函数F
 F=ilaplace(L,y) 返回关于y的函数F，而不是缺省的t
 F=ilaplace(L,y,x) 对函数L的自变量y积分，返回关于x的函数F
 Z-变换和逆变换ztrans(f) 标量符号f的Z－变换
 F=ztrans(f) 缺省独立变量n，返回关于z的函数
 F=ztrans(f,w) 返回关于符号变量w的函数F，而不是缺省的z
 F=ztrans(f,k,w) 关于k的符号变量作Z－变换返回关于符号变量w的函数
 逆变换iztrans(F)
 f=iztrans(F) 或(F,k)或 (F,w,k)

符号函数简易绘图函数ezplot(f)
 f可以包含单个符号变量x的字符串或表达式，默认画图区间（－2pi，2pi），如果f包含x和y，画出的图像是f(x,y)=0的图像，缺省区间是－2pi<x<2pi,-2pi<y<2pi。
 Ezplot(f,xmin,xmax)或ezplot(f,[xmin,xmax])绘制在xmin<x<xmax区间上图像
 syms x t
 ezplot('t*cos(t)','t*sin(t)',[0,4*pi])
 绘制符号图像函数fplot(fun,lims,tol,’linespec’,n)
 其中lims=[xmin,xmax]或[xmin,xmax,ymin,ymax] tol为指定相对误差，默认0.001 ‘linespec’指定绘图的线型 n指定最少以n＋1个点绘图
 [x,y]=fplot(fun,lims,…) 只返回用来绘图的点，并不绘图，可以自己调用plot(x,y)来绘制图形。
 syms x
 subplot(2,2,1),fplot('humps',[0,1])
 f='abs(exp(x*(0:9))*ones(10,1))'
 subplot(2,2,2),fplot(f,[0,2*pi])
 subplot(2,2,3),fplot('sin(1./x)',[0.01,0.1],1e-3)
 matlab绘图
 二维图形的绘制
 plot 在(x,y)坐标下绘制二维图像支持多个x－y二元结构
 plot3 在(x,y,z)坐标下绘制三维图形
 loglog 在(x,y)对数坐标下绘制二维图形
 semilogx 在x为对数坐标，y为线性坐标的二维坐标中绘图
 semilogy 在x为线性坐标，y为对数坐标的二维坐标中绘图
 plotyy 在有两个y轴的坐标下绘图

plot(x,y,'--rs','linewidth',2,'markeredgecolor','k',...
 'markerfacecolor','g','markersize',10)
 plotyy用法
 plotyy(x1,y1,x2,y2) 以x1为标准，左轴为y轴绘制y1向量，x2为基准，右轴为y轴，绘制y2向量
 plotyy(x1,y1,x2,y2,fun) 用字符串fun指定的绘图函数(plot ,semilogx,semilogy,loglog,stem)
 plotyy((x1,y1,x2,y2,fun1,fun2)
 t=0:pi/20:2*pi;
 y=exp(sin(t));
 plotyy(t,y,t,y,'plot','stem') stem为二维杆图

 [ax,h1,h2]=plotyy(…) 返回左右两y轴的句柄（分别为ax(1) ax(2)，以及在两坐标轴中生成的图形对象的句柄，分别为h1 h2
 t=0:900;
 A=1000;
 a=0.005;
 b=0.005;
 z2=cos(b*t);
 z1=A*exp(-a*t);
 [haxes,hline1,hline2]=plotyy(t,z1,t,z2,'semilogy','plot');
 axes(haxes(1))
 ylabel('semilog plot') 对数坐标
 axes(haxes(2))
 ylabel('linear plot')
 set(hline2,'linestyle','--')
 其他二维图形绘图指令
 bar(x,y) 二维条形图
 hist(y,n) 直方图
 histfit(y,n) 带拟和线的直方图，n为直方的个数
 stem(x,y) 火柴杆图
 comet(x,y) 彗星状轨迹图
 compass(x,y) 罗盘图
 errorbar(x,y,l,u) 误差限图
 feather(x,y) 羽毛状图
 fill(x,y,’r’) 二维填充函数以红色填充
 pie(x) 饼图
 polar(t,r) 极坐标图 r为幅值向量，t为角度向量
 t=0:0.1:8*pi;
 r=cos(3*t/2)+1/2;
 polar(t,r),xlabel('polar 指令')
 quiver(x,y) 磁力线图
 stairs(x,y) 阶梯图
 loglog(x,y) 对数图
 semilogx semilogy 半对数图

plot3(x,y,z) 三维线条图
 t=0:pi/50:15*pi;
 plot3(sin(t),cos(t),t,'r*') 与plot相似
 v=axis 返回各个轴的范围
 text(0,0,0,'origin') 在某个坐标点加入文字
 plot3 增加维数可以一次画多个图，使所个二维图形眼一个轴排列

mesh(x,y,z) 网格图
 mesh(x,y,z,c) 四维作图,(x,y,z)代表空间三维，c代表颜色维
 mesh(…,’property name’,property value,…) 设置曲面各属性的值
 [x,y,z]=sphere(12);
 mesh(x,y,z)，hidden off 曲面设置为透明
 meshc(x,y,z) 画网格图和基本的等值线图
 meshz(x,y,z) 画包含零平面的网格图
 waterfall(x,y,z) 与mesh一样，只是在效果上它的网格线只在x轴一个方向出现，呈瀑布状水线
 两个变量的标量指令meshgrid(x)或meshgrid(x,y) (p179)
 将两个一维向量生成两个二维向量，以便进行z=f(x,y)运算，算出z的所有值，z为x y的标量指令
 [X,Y]=meshgrid(x) meshgrid(x,x)的简略式
 [X,Y]=meshgrid(x,y)
 [X,Y,Z]=meshgrid(x,y,z) 用于三维图形的绘制
 [x,y]=meshgrid([-2:0.1:2]);
 z=x.*exp(-x.^2-y.^2);
 plot3(x,y,z)
 surf(x,y,z,c) 着色表面图
 surf(x,y,z) 隐含着c=z
 surf（z）隐含着x，y的值为surf指令根据z的尺寸自动生成
 surfc 画出具有基本等值线的曲面图
 surfl 画出一个具有亮度的曲面图
 shading flat 网线图的某整条线段或曲面图的某个贴片都着一种颜色
 shading interp 某一线段或贴片上各点的颜色由线或片的顶端颜色经线性插值而得
 曲面图不能设成网格图那样透明，但需要时，可以在孔洞处将数据设成nun

在二维空间绘制等高线contour
 contour(x,y,z,n) 绘制n条等值线（n可省略）
 contour(x,y,z,v) 在向量v所指定的高度上绘制等高线（可省）
 c=contour(x,y,z) 计算等值线的高度值
 c=contourc(x,y,z,n) 计算n条等高线的x－y坐标数据
 c=contourc(x,y,z,v) 计算向量v所指定的等高线的x－y坐标数据
 clabel(c) 给c阵所表示的等高线加注高度标识
 clabel(c,v) 给向量v所指定的等高线加注高度标识
 clabel(c,’manual’) 借助鼠标给点中的等高线加注高度标识
 三维空间绘制等高线contour3(x,y,z)
 [x,y,z]=peaks(30);
 contour3(x,y,z,16,'g')
 二元函数的伪彩图pcolor(x,y,z)
 是指令surf的二维等效指令，代表伪彩色，可与contour单色等值线结合画彩色等值线图
 [x,y,z]=peaks(30);
 pcolor(x,y,z); 伪彩色
 shading interp 颜色插值，使颜色平均渐变
 hold on,contour(x,y,z,20,'k')... 画等值线
 colorbar('horiz') 水平颜色标尺
 c=contour(x,y,z,8);
 clabel(c) 标注等高线
 矢量场图(速度图)quiver
 用于描述函数z=f(x,y)在点(x,y)的梯度大小和方向
 [X,Y]=meshgrid(x,y) X,Y为Z阵元素的坐标矩阵
 [U,V]=gradient(Z,dx,dy) U，V分别为Z对x对y的导数，dx dy是x y方向上的计算步长
 quiver(X,Y,U,V,s,’linespec’,’filled’) U，V为必选项，决定矢量场图中各矢量的大小和方向，s为指定所画箭头的大小，缺省时取1,linespec为字符串，指定合法的线形和彩色，filled用于填充定义的绘图标识符
 [x,y]=meshgrid(-2:.2:2,-1:.15:1);
 z=x.*exp(-y.^2);
 [px,py]=gradient(z,.2,.15);
 contour(x,y,z);
 hold on,quiver(x,y,px,py),axis image
 多边形的填色fill(x,y,c)
 c定义颜色字符串，可以是’r’,’b’等，也可以用RGB三色表示[r,g,b]值为0-1
 图形的四维表现