群的直积
外直积
是两个群(固定的群), 且有
,(构造的新群)
%7Ch_1%5Cin%20H_1%2Ch_2%5Cin%20H_2%5C%7D%2C%5Ccdot%5Cbig)%2C%20)
定义运算:
%5Ccdot(g_1%2Cg_2)%5Ctriangleq(h_1g_1%2Ch_2g_2)%2C%5Cquad%20%5Cforall%20h_1%2Cg_1%5Cin%20H_1%2Ch_2%2Cg_2%5Cin%20H_2.%20)
并且有:
%7C%5Cforall%20h_1%5Cin%20H_1%2Ce_2%5Cin%20H_2%5C%7D%5Ccong%20H_1%5Cunlhd%20G.%20)
内直积
与外直积相反, 
是一个群, 如果
且
, 
, 则称
.
证明:
, 其中
;
上面的表示方法唯一.
若不然, 
, 两边左乘
,右乘
, 得到
- 于是
%5Clongmapsto%20h_1h_2%20)
.
直积的意义:
例子:
,(36阶群) 则
%7Ca%5Cin%5Cmathcal%7BS%7D_3%5C%7D%2C%5Ccdot%5Cbig)%5C%5C%20%5Cqquad%5Cquad%5Ccong%5Cmathcal%7BS%7D_3%5Ctimes%20%5C%7B(1)%5C%7D%3D%5C%7B(1)%5C%7D%5Ctimes%20%5Cmathcal%7BS%7D_3%20)
第一行不是的正规子群, 但是第二行是.
例子:(交换群, 等价于
阶循环群的直积)
%3D%5Clangle%20g%5Crangle%2C%5Cquad%20g%5Ed%3De.%20)
对于具体的例子:
,
有几个4阶群, 有几个8阶群?
Sol.
通过循环群的定义计算,
半直积
, 则
.
- 如果
为循环群, 
称为亚循环群.
可解群
正规子群链:
其中
.
合成群链(中间的任意两个商群都是单群, 或者中间找不到子群, 使正规子群链成立)
- 循环群的合成群链:
由循环群结构定理:
%2C%20%5Cforall%20m%7Cn%2C%20(m%5Cmathbb%7BZ%7D%2Fn%5Cmathbb%7BZ%7D%2C%2B)%2C%20)
得到: 若
, 则有
- 交换群的合成群链:
由交换群结构定理,
于是我们有
- p-群的合成群链:
不交换, 则%5Cne%5C%7B1%5C%7D%20)
,
%3E%5C%7B1%5C%7D.%20)
即
,
其中
,
交换, 直接由上述讨论得到.
可解
为素数阶循环群.
应用Sylow定理:
阶群必可解(
为素数,
).
证明:
具体的例子:
, 只有如下几种可能.(由Sylow第三定理)
如果
, 则有8个7阶子群, 设为
, 每个7阶子群有6个7阶元(以及1个单位元)
于是
还剩下8个元素(减掉48个7阶元), 这8个元素构成了Sylow-2群(除单位元之外, 剩下元素都是8阶元),
%3D1%20)
, 于是sylow-2群没有7阶元(由Lagrange定理), 这8个非7阶元构成唯一的Sylow-2群, 于是
, 设此sylow-2群为
, 则
于是56阶群可解.
自由群
商群表示
