完美滤波器

如下图所示，第级为输入图像，其中第级为第级的尺寸减半的存在，直至为

设原图像像素点个数为，则图像金字塔的总像素个数为

对于图像金字塔建模，设第级为图像降低分辨率后的近似图像，这可以视为由第 级图像经过滤波操作和下采样实现后的存在，则第级可以视为第级经过上采样和插值操作后的存在，即如下图所示：

其中对图像进行上采样操作，索引所对应的值为：

图像进行下采样操作，索引所对应的值为：

上采样可看成是在序列中的每一个样本后插人 0; 下采样可看成是每隔一个样本丢弃一个样本。

设存在输入信号，其中与

并经过下采样得到与。然后经过上采样，与滤波和并将信号与合并得到信号，若与相等，可以称为采用了完美滤波。

存在一个Z变换:

其中离散傅里叶变换是Z变换的一个特殊形式，即

若对z变换采用下采样，则可以得到:

若对z变换采用上采样，则可以得到:

先对信号进行下采样然后进行上采样可得：

根据z变换的逆变换可得：

在根据完美滤波原理：

为了实现完美滤波则，应存在

即：

利用克拉默法则可得

其中，忽略时延，并令，可得
即当或时，成立

其中与分别由和调制得到

因为

所以存在：

其中为单位脉冲函数

当n为奇数时将会出现相消得情况，于是可以简化为

可以看成两个向量的内积，同理存在

即满足双正交

即