1.1 线性回归应用场景

• 房价预测
• 销售额度预测
• 金融：贷款额度预测、利用线性回归以及系数分析因子

1.2 什么是线性回归

1.2.1定义与公式

线性回归(Linear regression)是利用回归方程(函数)对一个或多个自变量(特征值)和因变量(目标值)之间关系进行建模的一种分析方式。

• 特点：只有一个自变量的情况称为单变量回归，大于一个自变量情况的叫做多元回归

那么怎么理解呢？我们来看几个例子

• 期末成绩：0.7×考试成绩+0.3×平时成绩
• 房子价格 = 0.02×中心区域的距离 + 0.04×城市一氧化氮浓度 + (-0.12×自住房平均房价) + 0.254×城镇犯罪率

上面两个例子，我们看到特征值与目标值之间建立的一个关系，这个可以理解为回归方程。

1.3 线性回归的损失和优化原理

假设刚才的房子例子，真实的数据之间存在这样的关系

真实关系：真实房子价格 = 0.02×中心区域的距离 + 0.04×城市一氧化氮浓度 + (-0.12×自住房平均房价) + 0.254×城镇犯罪率

那么现在呢，我们随意指定一个关系（猜测）

随机指定关系：预测房子价格 = 0.25×中心区域的距离 + 0.14×城市一氧化氮浓度 + 0.42×自住房平均房价 + 0.34×城镇犯罪率

这两个关系肯定是存在误差的，那么我们怎么表示这个误差并且衡量优化呢？

1.3.1 损失函数

最小二乘法

• y_i为第i个训练样本的真实值
• h(x_i)为第i个训练样本特征值组合预测函数

如何去减少这个损失，使我们预测的更加准确些？既然存在了这个损失，我们一直说机器学习有自动学习的功能，在线性回归这里更是能够体现。这里可以通过一些优化方法去优化（其实是数学当中的求导功能）回归的总损失！！！

1.3.2 优化算法---正规方程

如何去求模型当中的W，使得损失最小？（目的是找到最小损失对应的W值）

理解：X为特征值矩阵，y为目标值矩阵。直接求到最好的结果

缺点：当特征过多过复杂时，求解速度太慢并且得不到结果

1.3.2 优化算法---梯度下降

理解：α为学习速率，需要手动指定（超参数），α旁边的整体表示方向

沿着这个函数下降的方向找，最后就能找到山谷的最低点，然后更新W值

使用：面对训练数据规模十分庞大的任务 ，能够找到较好的结果

1.4 线性回归API

• sklearn.linear_model.LinearRegression(fit_intercept=True)

• 通过正规方程优化
• fit_intercept：是否计算偏置
• LinearRegression.coef_：回归系数
• LinearRegression.intercept_：偏置

• sklearn.linear_model.SGDRegressor(loss="squared_loss", fit_intercept=True, learning_rate ='invscaling', eta0=0.01)

• SGDRegressor类实现了随机梯度下降学习，它支持不同的loss函数和正则化惩罚项来拟合线性回归模型。
• loss:损失类型

• loss=”squared_loss”: 普通最小二乘法

• fit_intercept：是否计算偏置
• learning_rate : string, optional

• 学习率填充
• 'constant': eta = eta0
• 'optimal': eta = 1.0 / (alpha * (t + t0)) [default]
• 'invscaling': eta = eta0 / pow(t, power_t)

• power_t=0.25:存在父类当中

• 对于一个常数值的学习率来说，可以使用learning_rate=’constant’ ，并使用eta0来指定学习率。

• SGDRegressor.coef_：回归系数
• SGDRegressor.intercept_：偏置

1.5 回归性能评估

均方误差(Mean Squared Error)MSE)评价机制：

注：y^i为预测值，¯y为真实值

• sklearn.metrics.mean_squared_error(y_true, y_pred)

• 均方误差回归损失
• y_true:真实值
• y_pred:预测值
• return:浮点数结果

1.6 案例（正规方程的优化方法对波士顿房价进行预测）

def linear1():
    """
    正规方程的优化方法对波士顿房价进行预测
    :return:
    """
    # 1）获取数据
    boston = load_boston()

    # 2）划分数据集
    x_train, x_test, y_train, y_test = train_test_split(boston.data, boston.target, random_state=22)

    # 3）标准化
    transfer = StandardScaler()
    x_train = transfer.fit_transform(x_train)
    x_test = transfer.transform(x_test)

    # 4）预估器
    """
    通过正规方程优化
    fit_intercept：是否计算偏置
    LinearRegression.coef_：回归系数
    LinearRegression.intercept_：偏置
    """
    estimator = LinearRegression()
    estimator.fit(x_train, y_train)

    # 5）得出模型
    print("正规方程-权重系数为：\n", estimator.coef_)
    print("正规方程-偏置为：\n", estimator.intercept_)

    # 6）模型评估
    y_predict = estimator.predict(x_test)
    print("预测房价：\n", y_predict)
    error = mean_squared_error(y_test, y_predict)
    print("正规方程-均方误差为：\n", error)

    return None

1.7 案例（梯度下降的优化方法对波士顿房价进行预测）

def linear2():
    """
    梯度下降的优化方法对波士顿房价进行预测
    :return:
    """
    # 1）获取数据
    boston = load_boston()
    print("特征数量：\n", boston.data.shape)

    # 2）划分数据集
    x_train, x_test, y_train, y_test = train_test_split(boston.data, boston.target, random_state=22)

    # 3）标准化
    transfer = StandardScaler()
    x_train = transfer.fit_transform(x_train)
    x_test = transfer.transform(x_test)

    # 4）预估器
    """
    sklearn.linear_model.SGDRegressor(loss="squared_loss", fit_intercept=True, learning_rate ='invscaling', eta0=0.01)
    学习率填充
    'constant': eta = eta0
    'optimal': eta = 1.0 / (alpha * (t + t0)) [default]
    'invscaling': eta = eta0 / pow(t, power_t)
    power_t=0.25:存在父类当中
    对于一个常数值的学习率来说，可以使用learning_rate=’constant’ ，并使用eta0来指定学习率。
    """
    estimator = SGDRegressor(learning_rate="constant", eta0=0.01, max_iter=10000, penalty="l1")
    estimator.fit(x_train, y_train)

    # 5）得出模型
    print("梯度下降-权重系数为：\n", estimator.coef_)
    print("梯度下降-偏置为：\n", estimator.intercept_)

    # 6）模型评估
    y_predict = estimator.predict(x_test)
    print("预测房价：\n", y_predict)
    error = mean_squared_error(y_test, y_predict)
    print("梯度下降-均方误差为：\n", error)

    return None

2、欠拟合与过拟合

2.1 什么是过拟合与欠拟合

• 分析

• 第一种情况：因为机器学习到的天鹅特征太少了，导致区分标准太粗糙，不能准确识别出天鹅。
• 第二种情况：机器已经基本能区别天鹅和其他动物了。然后，很不巧已有的天鹅图片全是白天鹅的，于是机器经过学习后，会认为天鹅的羽毛都是白的，以后看到羽毛是黑的天鹅就会认为那不是天鹅。

2.1.1 定义

• 过拟合：一个假设在训练数据上能够获得比其他假设更好的拟合， 但是在测试数据集上却不能很好地拟合数据，此时认为这个假设出现了过拟合的现象。(模型过于复杂)
• 欠拟合：一个假设在训练数据上不能获得更好的拟合，并且在测试数据集上也不能很好地拟合数据，此时认为这个假设出现了欠拟合的现象。(模型过于简单)

2.1.2 原因和解决办法

• 欠拟合原因以及解决办法

• 原因：学习到数据的特征过少
• 解决办法：增加数据的特征数量

• 过拟合原因以及解决办法

• 原因：原始特征过多，存在一些嘈杂特征， 模型过于复杂是因为模型尝试去兼顾各个测试数据点
• 解决办法：

• 正则化

2.2 正则化类别

• L2正则化

• 作用：可以使得其中一些W的都很小，都接近于0，削弱某个特征的影响
• 优点：越小的参数说明模型越简单，越简单的模型则越不容易产生过拟合现象
• Ridge回归

• L1正则化

• 作用：可以使得其中一些W的值直接为0，删除这个特征的影响
• LASSO回归

3、带有L2正则化的线性回归-岭回归

3.1 岭回归API

• sklearn.linear_model.Ridge(alpha=1.0, fit_intercept=True,solver="auto", normalize=False)

• 具有L2正则化的线性回归
• alpha:正则化力度，也叫 λ

• λ取值：0~1 1~10

• solver:会根据数据自动选择优化方法

• sag:如果数据集、特征都比较大，选择该随机梯度下降优化

• normalize:数据是否进行标准化

• normalize=False:可以在fit之前调用preprocessing.StandardScaler标准化数据

• Ridge.coef_:回归权重
• Ridge.intercept_:回归偏置

Ridge方法相当于SGDRegressor(penalty='l2', loss="squared_loss")

只不过SGDRegressor实现了一个普通的随机梯度下降学习，推荐使用Ridge(实现了SAG随机梯度下降)

• sklearn.linear_model.RidgeCV(_BaseRidgeCV, RegressorMixin)

• 具有l2正则化的线性回归，可以进行交叉验证
• coef_:回归系数

• 正则化力度越大，权重系数会越小
• 正则化力度越小，权重系数会越大

注：参考了黑马程序员相关资料。