博弈论——劳资博弈-摩杜云开发者社区

劳资博弈

0 引言

前一篇文章介绍了静态博弈中常见的几个案例以及场景，并且在此之前也还介绍过斯塔克尔伯格博弈等动态博弈，以及相关的解决方法——反应函数法。今天我们继续介绍一个常见的动态博弈——劳资博弈，并利用反应函数解决！

1 劳资博弈

劳资博弈是一个工会和厂商之间的博弈模型。该模型假设工资完全由工会决定，厂商决定雇佣工人的数量，博弈过程是（1）先由工会决定工资率，（2）然后厂商决定雇佣多少工人。
注意，工会代表的是工人群体，其不只追求较高的工资，还会希望较多的工人得到雇佣，高工资加高失业率不符合工会利益，低工资实现的高就业也不符合工会利益。因此，工会的效用(utility)是工资率和雇佣工人数两者的函数 $博弈论——劳资博弈_供应链$ 。其中，W和L分别表示工资率(可理解为单位成本)和厂商雇佣工人数。为了简便起见,假设工资率和雇佣数都连续可分，即W、L是连续型变量。
假设厂商只关心利润，利润是收益和成本之差。假设收益是关于工人数的函数博弈论——劳资博弈_反应函数_02 ，再假设只有劳动成本，总成本C等于工资率乘以工人数
博弈论——劳资博弈_供应链_03
则厂商的利润函数是关于工资率以及工人人数的函数：
$博弈论——劳资博弈_供应链_04$
用逆推归纳法分析这个博弈。
（1）第一步先分析第二阶段厂商的选择，也就是厂商对工会选择的工资率W的反应函数L(W)。
厂商实现自己最大得益(利润)的雇佣工人数L是以下最大值问题的解：
$博弈论——劳资博弈_劳资博弈_05$
将上述函数对L求偏导得：
$博弈论——劳资博弈_反应函数_06$
令 $博弈论——劳资博弈_反应函数_07$ 得：
博弈论——劳资博弈_博弈论_08

即能使该等式成立的L便是厂商实现最大利润的雇佣工人数，也就是给定工会选择的工资率W时厂商的最优雇佣工人数。

（2）第二步回到第一阶段工会的选择。
工会了解厂商的决策方法,完全清楚对应自己选择的每种工资率W,厂商将会根据上述方式决定雇佣数 $博弈论——劳资博弈_供应链_09$ 。因此,工会的决策问题是选择 $博弈论——劳资博弈_博弈论_10$ ,使它是下列最大值函数的解：
$博弈论——劳资博弈_反应函数_11$
在不给出 $博弈论——劳资博弈_劳资博弈_12$ 、博弈论——劳资博弈_反应函数_02 等具体函数时，给模型得这里已经求解完毕，接下来我们结合图像对该模型进一步进行解释！

2 图像

我们继续研究博弈论——劳资博弈_反应函数_14 ，它的经济意义是厂商增加雇佣的边际收益,也就是雇佣最后一单位劳动增加的收益,等于雇佣一单位劳动的边际成本(W),本模型中也是平均成本,即工资率。

首先以L为横坐标，R为纵坐标建立坐标系:

（1）可以绘制WL是该坐标系上过原点的，以W为斜率的射线(L≥0)；

（2）假设R(L)不是直线，而是曲线：

博弈论——劳资博弈_反应函数_15

博弈论——劳资博弈_反应函数_16 的几何意义为，当曲线R(L)的斜率等于W，也就是说当曲线R(L)在某点 $博弈论——劳资博弈_供应链_17$ 上的切线与WL平行时，此时的该点的横坐标 $博弈论——劳资博弈_供应链_17$ 便是厂商实现最大利润的雇佣工人数，也就是给定工会选择的工资率W时厂商的最优雇佣工人数 $博弈论——劳资博弈_供应链_09$ 。

博弈论——劳资博弈_斜率_20

此时，博弈论——劳资博弈_反应函数_21 的切线与WL平行，即在 $博弈论——劳资博弈_劳资博弈_22$ 处，R(L)与WL之间距离博弈论——劳资博弈_斜率_23 (厂商的利润)最大！

3 实例验证

假设厂商收益函数博弈论——劳资博弈_供应链_24 ，则根据
$博弈论——劳资博弈_劳资博弈_25$
可得：
博弈论——劳资博弈_反应函数_26
进一步得：
$博弈论——劳资博弈_博弈论_27$
再假设
$博弈论——劳资博弈_斜率_28$
则
$博弈论——劳资博弈_供应链_29$
求 $博弈论——劳资博弈_供应链_30$ 最大值即求 $博弈论——劳资博弈_劳资博弈_31$ 的最大值，令其一阶导为0可得：
$博弈论——劳资博弈_博弈论_32$
进一步得到
$博弈论——劳资博弈_劳资博弈_33$
所以 $博弈论——劳资博弈_劳资博弈_34$ 是该博弈的子博弈完美纳什均衡！