AM@线性微分方程解的结构
文章目录
- 线性微分方程
- 函数线性相关性
- 线性微分方程解的性质
- 线性方程解和对应齐次方程解的基本性质
- 齐次线性方程解的线性组合性质
- 齐次线性方程的通解结构
- 非齐次线性方程的通解结构
- 线性微分方程解的叠加原理
线性微分方程
函数线性相关性
- 设
%2C%5Ccdots%2Cy_m(x)%20)
是定义在某区间%20)
内得
个函数,若存在不全为0的个常数
,使得%3D0%20)
(1)成立,则称这个函数在该区间内线性相关,否则称这个函数在该区间内线性无关
- 当
时,即只有2个函数时,%2Cy_2(x)%20)
线性无关等价于之比不为常数(设%2Cy_2(x)%5Cneq%7B0%7D%20)
)
- 证明:若
%3Dky_1(x)%20)
,
为常数,显然%2By_2(x)%20)
=
,即一定存在
个不全为0的常数
满足线性相关方程
- 因此
%2Cy_2(x)%20)
线性无关必有
不为常数,否则线性相关
- 反之,若不为常数,记为
%20)
%2Bk_2ky_1(x)%20)
=)y_1(x)%20)
=
,%20)
不是常数0,所以%3D0%20)
,当且仅当
时成立,(否则%20)
是一个关于
的函数),所以线性无关
线性微分方程解的性质
线性方程解和对应齐次方程解的基本性质
- 设
%20)
为线性方程(1)的解,且%20)
为方程(1)对应的齐次方程的解,则%2By%5E*%20)
是(1)的解
- 设
%2Cy_2%5E*(x)%20)
都是线性方程(1)的解,则-y_2%5E*(x)%20)
是方程(1)对应的齐次方程的解
- 上述两点性质容易通过代入
验证,和线性代数中的线性方程组解的结构类似的特点
齐次线性方程解的线性组合性质
- 若
%2C%5Ccdots%2Cy_n(x)%20)
是齐次线性方程(2)的
个解,则它们的线性组合%20)
还是(2)的解
齐次线性方程的通解结构
- 设
%20)
,
是
阶齐次线性方程(2)的个线性无关的解,
,%20)
为个任意常数,则%20)
为方程(2)的通解
- 例如,二阶齐次线性方程的通解可以表示为
%2BC_2y_2(x)%20)
,其中%2Cy_2(x)%20)
线性无关,
是两个任意常数(不可合并的独立常数)
非齐次线性方程的通解结构
- 设为(1)的一个解,为(1)对应的齐次方程(2)的通解,则
%2By%5E*(x)%20)
为(1)的通解
线性微分方程解的叠加原理
- 本定理指出,当
%3Df_1(x)%2Bf_2(x)%20)
,并且可知式(1)的特解%20)
时的特解分别有%2Cy_2%5E*(x)%20)
,则可直接得到(2)的一个特解%20)
-
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为方程
=
,
是
=