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• abstract
• 变系数线性微分方程中的可常系数化类型

• Euler方程
• 小结
• 例

abstract

• 变系数微分方程特殊类型:欧拉方程的常系数化解法

变系数线性微分方程中的可常系数化类型

• 变系数的线性微分方程,一般来说不易求解
• 但有些特殊的变系数线性微分方程,可以通过变量代换化为常系数线性微分方程;变得容易求解

Euler方程

• 形如=(1)的阶变系数微分方程成为欧拉方程

• 方程1也可以写作=(1-1)
• 其中,为常数;因此展开写可以作=(1-2)

• 注意到方程中项常系数,其不需要进一步处理

• 作变换(2),(或(2-1)),可将自变量换成;对(2-1)求导,得=(2-2);==(2-3)(或者由(2)直接求导:===)

• Note:若,则作变换或,有与情形相仿的结果

• 从而==(3);=(4);=(5)

• 由复合函数求导和式(2-3),===
• 所以==,即有(4)

• 容易发现,使用的方式表示导数是很重的,不妨用来表示

• 表示
• 式(2-2)表示为=

• 那么=+=+

• ==
• 所以=,这就是式(5)

• 一般默认是对求导,即就是

• 
• 我们可以根据(3,4,5)猜测规律:一般地:形如(6)
• 为了便于表示(6),再用欧拉记法表示导数:即使用记号(或在不引起混淆时简单用大写的)表示对的求导运算;
• 结合导数的运算法则,约定

• 复合运算可以缩写为;
• 分配律:=

• ==

• 例如:=

• 式(3)可以变形为=,可以得到=
• 式(4)可以变形:==可以得到==
• 式(5)类似可推得==

• 一般地,有=(6-0);该式将变系数中的通过变量消去,并将关于的阶导数展开为关于关于新变量的个导数,的线性组合式

• 进一步缩写为=(6-1)
• 实际应用以(6-0)为主作替换;替换完成后,一般要展开公式中的括号,以便计算(是复合运算符,包含了个阶的导数运算,应该展开(去括号)以便计算,即,的线性组合

• 把式(6-0)代入到欧拉方程(1-2),得到一个以为自变量的常系数线性微分方程

• ==(7)

• 求解这个常系数微分方程,并把用代回,得到原方程(1)的解

小结

• 上述推理旨在说明阶欧拉方程可以通过适当的变量代换(例如),一定能够转换为阶常系数线性微分方程,以及具体的转换方法,即通过公式(6-0),逐项地将欧拉方程中的变系数替换为常系数

例

• 本例包含一个简单阶欧拉方程和3阶常系数非齐次线性微分方程
• 求(1)

• 分析方程类型:该方程为阶的欧拉方程
• 因此可以用变量代换法将其转换为阶常系数微分方程
• 令(2),即(2-1)
• 利用常系数化公式:=(6-1)作方程(1)等号左边的替换

• =
• =
• =

• 再由式(2),替换方程(1)等号右边,方程(1)可以改写为=;
• 为了便于后续计算,将其展开整理,得=
• 即=(3),这是一个三次常系数非齐次线性微分方程
• 其特征方程为(4),其容易求解

• 当时,是(4)的根,令
• 当,(4)退化为;可以得出另外两个根:,

• 由此,(3)对应的齐次方程的通解为=,代回,得
• 方程(3)的自由项可以看作经典类型1:多项式和指数函数的乘积类型
• 不是(4)的根,从而根据阶常系数非齐次线性微分方程类型1结论,特解可以设为===

• =
• =
• =

• 分别代入原方程(1),得=,即,从而,即;从而
• 所以方程(1)的通解为=