\(P2345\)
一、题目描述
约翰的\(N\)头奶牛每年都会参加 哞哞大会。哞哞大会是奶牛界的盛事。集会上的活动很多，比如堆干草，跨栅栏，摸牛仔的屁股等等。它们参加活动时会聚在一起，第\(i\)头奶牛的坐标为\(X_i\)，没有两头奶牛的坐标是相同的。奶牛们的叫声很大，第\(i\)头和第\(j\)头奶牛交流，会发出\(max(V_i,V_j) × |X_i−X_j|\) 的音量，其中\(V_i\) 和\(V_j\) 分别是第\(i\) 头和第\(j\),头奶牛的听力。假设每对奶牛之间同时都在说话，请计算所有奶牛产生的音量之和是多少。
\(Input\)
第一行：单个整数\(N\)
第二行到第\(N+1\) 行：第\(i+1\) 行有两个整数\(V_i\)和\(X_i\)。
\(Output\)
单个整数：表示所有奶牛产生的音量之和
\(Sample\) \(Input\)
4
3 1
2 5
2 6
4 3\(Sample\) \(Output\)
57\(Hint\)
所有数据≤ \(20000\)
二、解题思路
首先分析一下式子\(max\{V_i,V_j\}×|X_i − X_j|\)
想办法化简公式，去掉原公式中的\(max\)和绝对值符号。
- 将每头奶牛按听力\(V_i\)由小到大进行排序，那么当走到第\(i\)头牛时，它与前\(i-1\)头牛的\(\displaystyle \large \max_{j<i}(V_i,V_j)=V_i\),这样就成功去掉了最左侧的\(max\{V_i,V_j\}\)
- \(|X_i − X_j|\)这个分两种情况:
- \(X_i>X_j\),转换为\(X_i-X_j\)
- \(X_i<X_j\),转换为\(X_j-X_i\)
- \(\large \displaystyle \sum max\{V_i,V_j\}×|X_i − X_j|\)
- 第\(i\)头牛的\(v_i\)
- 第\(i\)头牛的\(v_i\)
第\(i\)头牛和其他的牛发出的声音 = ① + ②
对于牛在某个坐标区间内的个数和牛的坐标和，我们可以用两个树状数组来维护。
三、\(Code\)
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 20010;
// 听力值v,坐标x
// 结构体+第一维、第二维由小到大排序
struct Node {
int v, x;
const bool operator<(const Node &t) const {
if (v == t.v) return x < t.x;
return v < t.v;
}
} a[N];
// 树状数组模板
int c1[N], c2[N];
#define lowbit(x) (x & -x)
void add(int c[], int x, int v) {
while (x < N) c[x] += v, x += lowbit(x);
}
int sum(int c[], int x) {
int res = 0;
while (x) res += c[x], x -= lowbit(x);
return res;
}
int main() {
#ifndef ONLINE_JUDGE
freopen("P2345.in", "r", stdin);
#endif
int n;
scanf("%d", &n);
for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d %d", &a[i].v, &a[i].x);
sort(a + 1, a + n + 1); // 排序
LL res = 0;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
// c1:坐标和树状数组
// c2:牛的个数
LL s1 = sum(c1, a[i].x - 1); // a[i]进入树状数组时，它前面所有牛的坐标和
LL s2 = sum(c1, 20000) - sum(c1, a[i].x); // a[i]进入树状数组时，它后面所有牛的坐标和
LL cnt = sum(c2, a[i].x);
/*
cnt:它之前牛的个数
i-1-cnt:它之后牛的个数
a[i].x：它的坐标
*/
// 方法1：cout << "i=" << i << ",sum(c2,N)=" << sum(c2, N) << endl;
res += a[i].v * (cnt * a[i].x - s1 + s2 - (sum(c2, N) - cnt) * a[i].x);
// 方法2：
// res += a[i].v * (cnt * a[i].x - s1 + s2 - (i - 1 - cnt) * a[i].x);
add(c1, a[i].x, a[i].x); // 维护坐标前缀和
add(c2, a[i].x, 1); // 维护个数前缀和
}
// 输出结果
printf("%lld\n", res);
return 0;
}