C++前缀和算法：生成数组原理、源码及测试用例-摩杜云开发者社区

本文涉及的基础知识点

C++算法：前缀和、前缀乘积、前缀异或的原理、源码及测试用例包括课程视频动态规划，日后完成。

题目

给定三个整数 n、m 和 k 。考虑使用下图描述的算法找出正整数数组中最大的元素。
请你构建一个具有以下属性的数组 arr ：
arr 中包含确切的 n 个整数。
1 <= arr[i] <= m 其中 (0 <= i < n) 。
将上面提到的算法应用于 arr 之后，search_cost 的值等于 k 。
返回在满足上述条件的情况下构建数组 arr 的方法数量，由于答案可能会很大，所以必须对 10^9 + 7 取余。
示例 1：
输入：n = 2, m = 3, k = 1
输出：6
解释：可能的数组分别为 [1, 1], [2, 1], [2, 2], [3, 1], [3, 2] [3, 3]
示例 2：
输入：n = 5, m = 2, k = 3
输出：0
解释：没有数组可以满足上述条件
示例 3：
输入：n = 9, m = 1, k = 1
输出：1
解释：唯一可能的数组是 [1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1]

提示：
1 <= n <= 50
1 <= m <= 100
0 <= k <= n

暴力解法

分析

时间复杂度O(nmk*m)。第一层循环，枚举res[i]，时间复杂度O(n)。第二层第三层循环状态,最大值和search_cost的值。第四层循环，当前值。

核心代码

emplate
 class C1097Int
 {
 public:
 C1097Int(long long llData = 0) :m_iData(llData% MOD)
 {
 }
 C1097Int operator+(const C1097Int& o)const
 {
 return C1097Int(((long long)m_iData + o.m_iData) % MOD);
 }
 C1097Int& operator+=(const C1097Int& o)
 {
 m_iData = ((long long)m_iData + o.m_iData) % MOD;
 return this;
 }
 C1097Int& operator-=(const C1097Int& o)
 {
 m_iData = (m_iData + MOD - o.m_iData) % MOD;
 return this;
 }
 C1097Int operator-(const C1097Int& o)
 {
 return C1097Int((m_iData + MOD - o.m_iData) % MOD);
 }
 C1097Int operator(const C1097Int& o)const
 {
 return((long long)m_iData * o.m_iData) % MOD;
 }
 C1097Int& operator=(const C1097Int& o)
 {
 m_iData = ((long long)m_iData * o.m_iData) % MOD;
 return *this;
 }
 bool operator<(const C1097Int& o)const
 {
 return m_iData < o.m_iData;
 }
 C1097Int pow(long long n)const
 {
 C1097Int iRet = 1, iCur = *this;
 while (n)
 {
 if (n & 1)
 {
 iRet *= iCur;
 }
 iCur *= iCur;
 n >>= 1;
 }
 return iRet;
 }
 C1097Int PowNegative1()const
 {
 return pow(MOD - 2);
 }
 int ToInt()const
 {
 return m_iData;
 }
 private:
 int m_iData = 0;;
 };template
 int operator+(int iData, const C1097Int& int1097)
 {
 int iRet = int1097.operator+(C1097Int(iData)).ToInt();
 return iRet;
 }template
 int& operator+=(int& iData, const C1097Int& int1097)
 {
 iData = int1097.operator+(C1097Int(iData)).ToInt();
 return iData;
 }template
 int operator*(int iData, const C1097Int& int1097)
 {
 int iRet = int1097.operator*(C1097Int<>(iData)).ToInt();
 return iRet;
 }template
 int& operator*=(int& iData, const C1097Int& int1097)
 {
 iData = int1097.operator*(C1097Int<>(iData)).ToInt();
 return iData;
 }class Solution {
 public:
 int numOfArrays(int n, int m, int k) {
 vector<vector<C1097Int<>>> pre(k + 1, vector<C1097Int<>>(m+1));//pre[k][j]表示res[0,i)的 最大值为j且search_cost 为k的数量
 pre[0][0] = 1;
 for (int i = 0; i < n; i++)
 {
 vector<vector<C1097Int<>>> dp(k + 1, vector<C1097Int<>>(m + 1));
 for (int preMax = 0; preMax <= m; preMax++)
 {
 for (int preK = 0; preK <= k; preK++)
 {
 for (int cur = 1; cur <= m; cur++)
 {
 const int iNewK = (cur <= preMax) ? preK : preK + 1;
 if (iNewK > k)
 {
 continue;
 }
 dp[iNewK][max(cur, preMax)] += pre[preK][preMax];
 }
 }
 }
 pre.swap(dp);
 }
 auto bi = std::accumulate(pre[k].begin(), pre[k].end(), C1097Int<>());
 return bi.ToInt();
 }
 };

测试用例

template
 void Assert(const vector& v1, const vector& v2)
 {
 if (v1.size() != v2.size())
 {
 assert(false);
 return;
 }
 for (int i = 0; i < v1.size(); i++)
 {
 assert(v1[i] == v2[i]);
 }
 }template
 void Assert(const T& t1, const T& t2)
 {
 assert(t1 == t2);
 }int main()
 {
 int res = Solution().numOfArrays(2,3,1);
 Assert(6, res);
 res = Solution().numOfArrays(20, 30, 5);
 Assert(266034711, res);
 res = Solution().numOfArrays(30, 20, 4);
 Assert(835697098, res);
 //CConsole::Out(res);
 }

前缀和优化

分析

dp[curK][curMax]的来源有两种，见下表


preMax < curMax	k加1	pre[curK-1][0,curMax) 之和，前缀和。
preMax >= curMax	k不变	cur取[1,curMax]都是pre[curK][curMax]，故pre[curK][curMax]*curMax。

代码

class Solution {
 public:
 int numOfArrays(int n, int m, int k) {
 vector<vector<C1097Int<>>> pre(k + 1, vector<C1097Int<>>(m+1));//pre[k][j]表示res[0,i)的 最大值为j且search_cost 为k的数量
 pre[0][0] = 1;
 for (int i = 0; i < n; i++)
 {
 vector<vector<C1097Int<>>> dp(k + 1, vector<C1097Int<>>(m + 1));
 for (int curK = 1; curK <= k; curK++)
 {
 C1097Int<> bi = 0;
 for (int curMax = 1; curMax <= m; curMax++)
 { 
 //preMax < curMax
 bi += pre[curK-1][curMax - 1];
 dp[curK][curMax] = bi;
 //
 dp[curK][curMax] += pre[curK][curMax] * (curMax);
 }
 }
 pre.swap(dp);
 }
 auto bi = std::accumulate(pre[k].begin(), pre[k].end(), C1097Int<>());
 return bi.ToInt();
 }
 };

鄙人想对大家说的话
闻缺陷则喜是一个美好的愿望，早发现问题，早修改问题，给老板节约钱。
墨家名称的来源：有所得以墨记之。
如果程序是一条龙，那算法就是他的是睛

测试环境

操作系统：win7 开发环境： VS2019 C++17
或者操作系统：win10 开发环境：

VS2022 C++17

C++前缀和算法：生成数组原理、源码及测试用例_c++