二维差分
为什么我为OI泪目？因为我菜得离谱......
引入
一维差分用来O(1)修改区间，配合上一维前缀和就是O(N)的查询区间和。
差分为前缀和的逆运算。
二维差分同理。
接下来这道题就用二维差分来解决。
\(例题：地毯>>\)
地毯
题目描述
在 \(n\times n\) 的格子上有 \(m\) 个地毯。
给出这些地毯的信息，问每个点被多少个地毯覆盖。
输入格式
第一行，两个正整数 \(n,m\)。意义如题所述。
接下来 \(m\) 行，每行两个坐标 \((x_1,y_1)\) 和 \((x_2,y_2)\)，代表一块地毯，左上角是 \((x_1,y_1)\)，右下角是 \((x_2,y_2)\)。
输出格式
输出 \(n\) 行，每行 \(n\) 个正整数。
第 \(i\) 行第 \(j\) 列的正整数表示 \((i,j)\) 这个格子被多少个地毯覆盖。
样例 #1
样例输入 #1
5 3
2 2 3 3
3 3 5 5
1 2 1 4
样例输出 #1
0 1 1 1 0
0 1 1 0 0
0 1 2 1 1
0 0 1 1 1
0 0 1 1 1
提示
样例解释
覆盖第一个地毯后：
| \(0\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) |
|---|---|---|---|---|
| \(0\) | \(1\) | \(1\) | \(0\) | \(0\) |
| \(0\) | \(1\) | \(1\) | \(0\) | \(0\) |
| \(0\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) |
| \(0\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) |
覆盖第一、二个地毯后：
| \(0\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) |
|---|---|---|---|---|
| \(0\) | \(1\) | \(1\) | \(0\) | \(0\) |
| \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(1\) | \(1\) |
| \(0\) | \(0\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) |
| \(0\) | \(0\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) |
覆盖所有地毯后：
| \(0\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(0\) |
|---|---|---|---|---|
| \(0\) | \(1\) | \(1\) | \(0\) | \(0\) |
| \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(1\) | \(1\) |
| \(0\) | \(0\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) |
| \(0\) | \(0\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) |
数据范围
对于 \(20\%\) 的数据，有 \(n\le 50\)，\(m\le 100\)。
对于 \(100\%\) 的数据，有 \(n,m\le 1000\)。
题解
康康数据范围，\(n<=1000\),暴力修改\(O(n^ 2)\),共有\(O(m)\)次修改，总共\(O(n^2*m)=1e9\)复杂度，洛谷能够过，但\(CCF\)肯定会把你卡死。
于是出现吧：二维差分！
首先拿来一张图，要让红色部分+1，如何\(O(1)\)解决？
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0(x1,y1) 0 0
0 0 0(x2,y2) 0
0 0 0 0
差分是为了后面的前缀和做准备
我们先给\((x1,y1)+1\),可以达成增加的目的，但事情就会成这样(前缀和之后）
0 0 0 0
0 1 1 1
0 1 1 1
0 1 1 1
很显然，蓝，绿，棕四个部分都是被多加了的
于是我们再给\((x1,y2+1)-1,(x2+1,y1)-1\)来抵消影响。
但……
0 0 0 0
0 1 1 0
0 1 1 0
0 0 0 -1
这里会被减两遍
再给其+1就OK
如果遇到差分数组要初始化的情况，例如第2题，我们就将它当做边长为1的矩形差分处理即可。
CODE
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int tsn=1e3+5;
int n,m;
int qz[tsn][tsn];
int sum[tsn][tsn];
int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
freopen("00in.txt","r",stdin);
freopen("00out.txt","w",stdout);
#endif
cin>>n>>m;
for(int i=1;i<=m;i++)
{
int a1,b1,a2,b2;
cin>>a1>>b1>>a2>>b2;
qz[a1][b1]++,qz[a1][b2+1]--,qz[a2+1][b1]--,qz[a2+1][b2+1]++;
}
// for(int i=1;i<=n;i++,cout<<endl)
// for(int j=1;j<=n;j++)
// cout<<qz[i][j]<<" ";cout<<endl;
for(int i=1;i<=n;i++,cout<<endl)
for(int j=1;j<=n;j++)
sum[i][j]=sum[i][j-1]+sum[i-1][j]-sum[i-1][j-1]+qz[i][j],cout<<sum[i][j]<<" ";
return 0;
}
【模板】二维差分
题目描述
给你一个n行m列的矩阵，下标从1开始。
接下来有q次操作，每次操作输入5个参数x1, y1, x2, y2, k
表示把以(x1, y1)为左上角,(x2,y2)为右下角的子矩阵的每个元素都加上k，
请输出操作后的矩阵。
输入格式
第一行包含三个整数\(n,m,q\).
接下来\(n\)行，每行\(m\)个整数，代表矩阵的元素
接下来\(q\)行，每行5个整数\(x1, y1, x2, y2, k\)，分别代表这次操作的参数
输出格式
输出n行，每行m个数，每个数用空格分开，表示这个矩阵。
样例 #1
样例输入 #1
2 3 4
1 2 3
4 5 6
1 1 2 2 3
1 2 2 3 -1
1 1 1 3 4
1 1 2 1 1
样例输出 #1
9 8 6
8 7 5
提示
\(1≤n,m≤1000\)
\(1≤q≤10^5\)
\(1≤x1≤x2≤n\)
\(1≤y1≤y2≤m\)
\(−10^9≤矩阵中的元素≤10^9\)
\(−10^5≤k≤10^5\)
分析
注意一下上文，对你来说不是难事。
CODE
#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int tsn=1e3+5;
int n,m,q;
int a[tsn][tsn];
int cf[tsn][tsn];
int sum[tsn][tsn];
void _cf(int a1,int b1,int a2,int b2,int k)
{
cf[a1][b1]+=k,
cf[a2+1][b1]-=k,
cf[a1][b2+1]-=k,
cf[a2+1][b2+1]+=k;
}
signed main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
freopen("00in.txt","r",stdin);
freopen("00out.txt","w",stdout);
#endif
int n,m,q;
cin>>n>>m>>q;
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=m;j++)
cin>>a[i][j],_cf(i,j,i,j,a[i][j]);
while(q--)
{
int a1,b1,a2,b2,k;
cin>>a1>>b1>>a2>>b2>>k;
_cf(a1,b1,a2,b2,k);
}
for(int i=1;i<=n;i++,cout<<endl)
for(int j=1;j<=m;j++)
sum[i][j]=sum[i-1][j]+sum[i][j-1]-sum[i-1][j-1]+cf[i][j],cout<<sum[i][j]<<" ";
return 0;
}
完结撒❀
图片来自网络。