反应函数

1 引言

谢老师的《经济博弈论》书中对反应函数并没有给出一般笼统的定义，而是将其应用与古诺模型并给出了相关解释：反应函数是指在无限策略的古诺博弈模型中，博弈方的策略有无限多种，因此各个博弈方的最佳对策也有无限种，它们之间往往构成一种连续函数的关系，把这个连续函数称为反应函数。
有趣的是百度百科对于反应函数的定义与谢老师书上的一致，但是在该词条正文中，还有一句话是：在经济学中，反应函数在博弈论古诺模型中有相应的应用，在假设竞争对手产生了给定产出水平的情况下，反应函数可以得出你的最佳产出水平。
这句话其实比较通俗易懂得解释了反应函数的定义，就是说：反应函数就是当一个企业做经营决策(如产量决策、价格决策等)时，对于给定的其他竞争企业的经营决策，所做出的反应,表明这一反应关系的函数。大白话就是，你做了决策后，我根据你的决策做出我的决策，那描述“根据你的决定，做出我的决定”的关系的函数，称为反应函数。

2 反应函数

根据你的先手，决定对我最有利的后手，是反应函数最关键的地方。我们以前一篇文章的连续产量古诺模型为例：
在上述两寡头古诺模型中,对厂商2的任意产量q2 ,厂商1的最佳对策产量q1，是下面最大化问题的解：

也就是给定，求能让厂商1得到最优利润的。

令对求一阶导，并等于0，得到：

即：

令：

得到的这个函数是对于厂商2的每一个可能产量，厂商1最佳产量的计算公式。这个函数称为厂商1对厂商⒉产量的“反应函数”(reaction function)。
同理,可求出厂商2对厂商1产量的反应函数为：

显而易见，、这两个反应函数都是线性函数(linear function),我们在坐标平面上用两条直线表示出来，更好得进行研究。

3 图像

首先我们分别确定两个线性函数在坐标系上的两点，以数对表示。对于，其经过、两点；对于，其经过、两点，如下图所示：

根据图像可以看出:

1. 当一方产量选择为0时,另一方的最佳反应为,这正是上篇文章中提到的实现市场总利益最大的产量,这时候等于一个厂商垄断市场;
2. 当一方产量达到时,另一方被迫生产0,因为后者坚持生产无利可图.

在两个反应函数对应的两条直线上,只有交点代表的产量组合,才是由相互对对方的最佳反应构成的。
需要注意的是，上其他所有点代表了只有是对的最佳反应, 不是对的最佳反应；而上其他点代表了只有是对的最佳反应,不是对的最佳反应。因此，根据纳什均衡的定义,当，即、相互是对于对方的最佳反应，是该博弈唯一的纳什均衡。这与上篇文章通过数理推导得到的结论一致。

4 结语

得益是策略多元连续函数的博弈,都可以求每个博弈方的反应函数，解出各博弈方反应函数的交点就是纳什均衡。这种用反应函数求纳什均衡的方法,称为“反应函数法”。
反应函数法是分析一般具有无限多种策略、连续策略空间博弈问题的基本方法，但并不是说反应函数可以解决一切有无限策略、连续策略空间的博弈。因为在有些博弈中,得益函数不是可微函数,无法用先求导数找各个博弈方的反应函数,再解联立方程组的方法求纳什均衡。而且即使得益函数可以求导,可以求出各个博弈方的反应函数,也并不意味着一定能找到均衡结果。因为在有些博弈问题中,博弈方的得益函数比较复杂,各自的反应函数也比较复杂,并不能够保证反应函数有交点,也不能保证有唯一交点。