关于数制及其转换

从1除以10谈起

十进制计算

1 ÷ 10 = 0.1

商是有限小数

用二进制计算 是无限循环小数：

1 ÷ 1010 = 0.00011001100110011……

1/10 是无法用二进制小数精确表示的。十进制小数转换成二进制有可能无限循环。

十进制数0.1转换成二进制为0.000110001100011……

 

十进制小数转换成二进制

以小数点为界，拆分整数部分和纯小数部分转换

整数部分转换二进制，使用的是“除2取余法”。

小数部分的转换不同于整数部分，使用的是“乘2取整法”

例如：

 

 下面给出python实现十进制小数转换成二进制的源码：

 

#十进制浮点数转二进制函数
def dectbin(num):
    # 判断是否为浮点数
    if num == int(num):
        # 若为整数
        integer = '{:b}'.format(int(num))
        return integer
    else:
        # 若为浮点数
        # 取整数部分
        integer_part = int(num)
        # 取小数部分
        decimal_part = num - integer_part
        # 整数部分进制转换
        integercom = '{:b}'.format(integer_part)  #{:b}.foemat中b是二进制
        # 小数部分进制转换
        tem = decimal_part
        tmpflo = []
        # for i in range(accuracy):
        A = True
        while A:
            tem *= 2
            tmpflo += str(int(tem))  #若整数部分为0则二进制部分为0，若整数部分为1则二进制部分为1 #将1或0放入列表
            if tem > 1 :   #若乘以2后为大于1的小数，则要减去整数部分
                tem -= int(tem)
            elif tem < 1:  #乘以2后若仍为小于1的小数，则继续使用这个数乘2变换进制
                pass
            else:    #当乘以2后正好为1，则进制变换停止
                break
        flocom = tmpflo
        return integercom + '.' + ''.join(flocom)


number = float(input("输入一个正的浮点数："))
result = dectbin(number)
print(f'{number}的二进制数为：{result}')

 

为什么大多数的十进制小数都不能精确地表示为二进制小数？

浮点算术：争议和限制 https://docs.python.org/zh-cn/3/tutorial/floatingpoint.html

浮点数在计算机硬件中以2进制（二进制）分数表示。例如，十进制分数0.125的值为1/10+2/100+5/1000，二进制分数0.001的值为0/2+0/4+1/8。这两个分数具有相同的值，唯一真正的区别是第一个分数以10为基数的分数表示法书写，第二个分数以2为基数。

不幸的是，大多数的十进制小数都不能精确地表示为二进制小数。这导致在大多数情况下，你输入的十进制浮点数都只能近似地以二进制浮点数形式储存在计算机中。

表示性错误 是指某些（其实是大多数）十进制小数无法以二进制（以 2 为基数的计数制）精确表示这一事实造成的错误。 这就是为什么 Python（或者 Perl、C、C++、Java、Fortran 以及许多其他语言）经常不会显示你所期待的精确十进制数值的主要原因。

因此，程序员需要注意，浮点数交给计算机存储的时候，可能会有精度丢失问题！

浮点数在计算机中是如何表示的？

只要给出：符号（S）、阶码部分（E）、尾数部分（M） 这三个维度的信息，一个浮点数的表示就完全确定下来了，所以float和double这两种类型的浮点数在计算机中的存储结构就表示成下图所示这个样子：

 

1、符号部分（S）

0：正；1：负

 

2、阶码部分（E）（指数部分）：

对于float型浮点数，指数部分8位，考虑可正可负，因此可以表示的指数范围为-127 ~ 128；

对于double型浮点数，指数部分11位，考虑可正可负，因此可以表示的指数范围为-1023 ~ 1024。

 

3、尾数部分（M）：

浮点数的精度是由尾数的位数来决定的：

对于float型浮点数，尾数部分23位，换算成十进制就是 2^23=8388608，所以十进制精度只有6 ~ 7位；

对于double型浮点数，尾数部分52位，换算成十进制就是 2^52 = 4503599627370496，所以十进制精度只有15 ~ 16位。

附

在线（支持浮点型）进制转换https://tool.oschina.net/hexconvert/

在线二进制计算器https://miniwebtool.com/zh-cn/binary-calculator/ 

十进制的无理数是否在某一进制下是有理数？https://www.zhihu.com/question/329019394