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离散系统的基本概念

所谓离散系统，是指系统的输入与输出仅在离散的时间上取值，而且离散的时间具有相同的时间间隔。下面给出离散系统更全面的定义。

【定义】离散系统。凡是满足如下条件的系统均为离散系统：

(1) 系统每隔固定的时间间隔才“更新”一次，即系统的输入与输出每隔固定的时间间隔便改变一次。固定的时间间隔称为系统的“采样”时间。

(2) 系统的输出依赖于系统当前的输入、以往的输入与输出，即系统的输出是它们的某种函数。

(3) 离散系统具有离散的状态。其中状态指的是系统前一时刻的输出量。

离散系统的数学描述

前面给出了离散系统的定义，这里给出离散系统的数学描述，其数学描述应为:

【例1】 对于如下的离散系统模型：

其中系统的初始状态为y(0)=3，系统输入为0,2,4......，则系统在时刻0，1，2……的输出分别为：

离散系统除了采用一般的数学描述方式之外，还可以采用差分方程进行描述。使用差分方程描述方程形式如下：

设系统的状态变量为x，离散系统差分方程由以下两个方程构成：

状态更新方程：

系统输出方程：

离散系统的Simulink描述

这里以【例1】中的离散系统为例，说明如何利用Simulink对离散系统进行描述，并在此基础上对系统进行简单的分析。此处并不建立系统的Simulink模型进行仿真，而是编写M脚本文件从原理上对离散系统进行说明，并说明离散系统与连续系统的区别之处。

编写脚本文件systemdemo2.m对【例1】中的离散系统进行描述分析：

y(1)=3;
% 表示离散系统初始状态为3
% 由于MATLAB中数组下标从1开始，这里y(1)相当于上文中的y(0)=3，下同
u(1)=0; % 表示离散系统初始输入为0
for i=2:11 % 设定离散系统输入范围为时刻0到时刻10
    u(i)=2*i; % 离散系统输入向量
    y(i)=u(i).^2+2*u(i-1)+3*y(i-1); % 离散系统输出向量
end
plot(u,y); grid; % 绘制系统仿真结果

系统从时刻0到时刻10的输入与输出的关系如下图所示。其中横坐标表示离散系统的输入向量，而纵坐标表示离散系统的输出向量。说明：这里并没有指定离散系统的采样时间，而仅仅举例说明离散系统的求解分析。在实际的系统中，必须指定系统的采样时间，只有这样才能获得离散系统真正的动态性能。

线性离散系统

对于任何系统而言，系统的描述都可以采用抽象的数学形式来进行描述。这是因为任何系统都可以被看作是输入到输出的某种变换。例如，离散系统可以由下述的变换进行描述：

在离散系统之中，线性离散系统具有重要的地位。下面对线性离散系统进行简单的介绍。在此之前，读者需要理解如下的两个概念：

（1）齐次性：若对于离散系统，如果对任意的输入与给定的任意常数，恒有：

(2) 叠加性：如果系统对于输入和，输出分别为和，恒有：

则称系统满足叠加性。

【定义】线性离散系统：当离散系统同时满足齐次性与叠加性时，即：

则称此离散系统为线性离散系统。

例如，对于如下的离散系统：

线性离散系统的数学描述

对于线性离散系统来说，可以使用最一般的方式对其进行描述，如采用如下的数学方程进行描述：

或采用差分方程进行描述：

状态更新方程： 

系统输出方程： 

除了使用一般的方式描述线性离散系统之外，针对线性离散系统本身的特点，经常使用Z变换来描述线性离散系统。Z变换是对离散信号进行分析的一个强有力的工具，尤其是对线性离散系统。

Z变换具有多种不同的性质，这里仅介绍Z变换的如下两个性质：

(1) 线性性。所谓Z变换的线性性指的是Z变换满足下面的关系：

(2) 设离散信号 f(k) 的Z变换为 F(z)，则 f(k+1) 的Z变换为 z[F(z)-f(0)]。

【例2】 对于如下的线性离散系统：

同时对等式两边进行Z变换，则有：

一般在系统分析中，往往对系统输出与系统输入的比值比较关心，将此式化成分式的形式，有:

在对系统进行描述分析时，此种形式的描述称之为滤波器描述。对上式进行等价变换，可以得到系统的传递函数描述线性系统最常用的一种描述方式：

还可以得到系统的零极点描述：

线性离散系统的Simulink描述

线性离散系统的描述方式有如下四种形式：

(1) 线性离散系统的滤波器模型：在Simulink中，滤波器表示为num=[n0 n1 n2]; den=[d0 d1]；其中num表示Z变换域分式的分子系数向量，den为分母系数向量。

(2) 线性离散系统的传递函数模型：在Simulink中，系统的传递函数表示为num=[n0 n1 n2]; den=[d0 d1]；

(3) 线性离散系统的零极点模型：在Simulink中，系统零极点表示为gain=K; zeros=[z1, z2]; poles=[0, p1];

(4) 线性离散系统的状态空间模型：在Simulink中，设系统差分方程为如下形式：x(n+1)=Fx(n)+Gu(n)；y(n)=Cx(n)+Du(n)。其中x(n), u(n), y(n)分别为线性离散系统的状态变量、输入向量、输出向量。F，G，C，D分别为变换矩阵。在Simulink中，其表示很简单，只需要输入相应的变换矩阵F，G，C，D即可。

【例3】对于如下的线性离散系统：

在MATLAB中输入下面的语句，可以绘制出此系统的Bode图：

>>num=[2 -1 -5];
>>den=[1 3 6 2];
>>dbode(num,den,1)
>>grid;

此离散系统的Bode图如下图所示：

当然也可以用下面的语句求出系统的幅值与相位而不绘制图形：

>>[mag,phase]=dbode(num,den,1);

此外，在MATLAB中，离散系统的不同描述模型之间可以进行相互转化。这里给出几个比较常用的函数：

% 将系统传递函数模型转化为零极点模型
[zeros,poles,k]=tf2zp(num,den)




% 将系统零极点模型转化为传递函数模型。
% 其中num，den分别为系统的传递函数表示；
% zeros，poles，k为系统的零极点模型
[num,den]=zp2tf(zeros,poles,k)

至于线性离散系统的状态空间模型描述，这里不再介绍，感兴趣的读者可以参考其它有关的书籍。这里给出它与传递函数模型、零极点模型相互转化的函数命令：

% 将系统状态空间模型转化为零极点模型
[zeros,poles,k]=ss2zp(F,G,C,D) 




% 将系统零极点模型转化为状态空间模型
[F,G,C,D]=zp2ss(zeros,poles,k) 




% 将系统状态空间模型转化为传递函数模型
[num,den]=ss2tf(F,G,C,D)




% 将系统传递函数模型转化为状态空间模型
[F,G,C,D]=tf2ss(num,den)

【例4】 以下面线性离散系统为例说明系统模型的转化。

解：将传递函数模型转化为零极点模型：

>> num=[2 -1 -5];
>> den=[1 3 6 2];
>> [zeros,poles,k]=tf2zp(num,den)

结果为：

zeros =


    1.8508
   -1.3508


poles =


  -1.2980 + 1.8073i
  -1.2980 - 1.8073i
  -0.4039 + 0.0000i


k =


     2

将传递函数模型转化为状态空间模型：

>> num=[2 -1 -5];
>> den=[1 3 6 2];
>> [F,G,C,D] = tf2ss(num,den)

结果为：

F =


    -3    -6    -2
     1     0     0
     0     1     0


G =


     1
     0
     0


C =


     2    -1    -5


D =


     0

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