文章目录

• abstract
• 周期性
• 性质

• 周期的整数倍仍然是周期
• 周期函数伸缩变换后的周期

• 从伸缩变换的角度
• 从周期函数的定义推导
• 周期函数的倒数仍为同周期函数

• 周期函数的复合函数

• 常见周期函数
• 周期函数的运算性质

• 周期函数之和

• 推广

• 周期函数之积
• 例

abstract

• 周期函数及其基本性质
• 常见周期函数及其周期

周期性

• 设,则是以为周期的周期函数

• Note:若仅存在某个(有限个)使得不能认为是周期函数(例如二次函数)

性质

• 设是以为周期的周期函数,定义域为,即,(0)
• 这里也可以是表达式,即,(0-1)

周期的整数倍仍然是周期

• 若(0)成立,则,(1)

• 令,则,

• 由可知,
• 由归纳原理,
• 而,;所以

周期函数伸缩变换后的周期

• 若(0)成立,则,以(2)为周期

• 设的周期为,根据周期函数的定义,=(3)

• 即

• 从验证的角度说明(2)式为的周期

• =

• 不妨设,则=

• 再由式(0),==
• 可见式(3)成立

• 若,则=

• 由式(1),==
• 所以式(3)成立

• 这就证明了(3)总是成立的

从伸缩变换的角度

• 由于=相当于图像平移个单位后横坐标变为原来的倍

• 周期取正,所以

从周期函数的定义推导

• 记 ;=,的周期设为
• 则,即=
• ==,由式(0),
• 再由式(0),(1),若是的最小正周期,则是的整数倍,,,从而,取最小正周期,即取最小值,则,所以
• Note:上述结论在三角函数上用的很多,例如

• 的周期是周期的倍:即;
• 的周期为

周期函数的倒数仍为同周期函数

• 设,,则都是以T为周期的周期函数

• 由周期函数定义容易证明:==,可见和都是以为周期的函数

• 例如,都是周期为的函数

周期函数的复合函数

• 设,则也是,(的值域在的定义域内)的周期

• ==

• 例如

• 可以看作是复合而成,从而的周期为

• 而得出的结论是最小正周期为

• 是周期为的周期函数,即

常见周期函数

• 周期为的周期函数,,,及其倒数函数
• 周期为的函数;,,

• 例如=,可见是周期为的函数

周期函数的运算性质

周期函数之和

• ,,则满足

• 因为:
• 即,周期同为的两个函数的和函数或差函数仍然是周期为的周期函数

• ,,则(1)满足,其中

• 周期分别为的两个周期函数之和函数或差函数是周期为(的最小公倍数)

• 由周期的整数倍仍然是周期这一性质可知,显然既是的周期,又是的周期

• 明白这一点很重要,在傅里叶级数中,会用到这一点

• 当时,式(1)不一定仍然以(或的倍数)为周期

• 例如,显然,其最小正周期显然不是

推广

• 更一般的,记具有不同周期的周期函数的和函数
• ;
• 记;

• 记存在最小正周期的周期函数,满足
• 记函数集合,它们分别是周期为的周期函数
• 存在个整数,使得,则的最小公倍数为;(1)
• 是尽可能的小满足(1)的正数,则就是的最小公倍数
• 显然,

• 若=,则===

• ,则满足

• ;
• 可见,,
• 一般地,周期函数加上一个常数得到的新函数的周期和的周期一致

• ,则,(为常数),满足

• ;
• 可见,周期函数乘以常数后仍然是一个周期为的函数

• ,满足

周期函数之积

• ,,则的周期为

• ===,因此结论成立

• 但是未必是最小正周期,例如

• =,可知是的一个周期,但却不是最小正周期
• 的周期是=,可见不是的最小正周期

例

• =,其周期为的周期,即
• 类似的,==

• 周期为
• ,其周期为
• 因此,由周期函数和性质,的周期为

• =周期为
•