X 国王有一个地宫宝库，是 n×m 个格子的矩阵，每个格子放一件宝贝，每个宝贝贴着价值标签。
地宫的入口在左上角，出口在右下角。
小明被带到地宫的入口，国王要求他只能向右或向下行走。
走过某个格子时，如果那个格子中的宝贝价值比小明手中任意宝贝价值都大，小明就可以拿起它（当然，也可以不拿）。
当小明走到出口时，如果他手中的宝贝恰好是 k 件，则这些宝贝就可以送给小明。
请你帮小明算一算，在给定的局面下，他有多少种不同的行动方案能获得这 k 件宝贝。
输入格式
第一行 3 个整数，n,m,k，含义见题目描述。
接下来 n 行，每行有 m 个整数 Ci 用来描述宝库矩阵每个格子的宝贝价值。
输出格式
输出一个整数，表示正好取 k 个宝贝的行动方案数。
该数字可能很大，输出它对 1000000007 取模的结果。
数据范围
1≤n,m≤50,
1≤k≤12,
0≤Ci≤12
输入样例1：
2 2 2
1 2
2 1
输出样例1：
2
输入样例2：
2 3 2
1 2 3
2 1 5
输出样例2：
14
题解:
dp分析:
常见问题: 为什么取第(i,j)物品的时候要满足 c == w[i][j] ？ 以及为什么状态转移方程2 为什么是0...c累加
- 我们原本定义了f[i][j][k][c]表示的是 在第(i, j)上的, 取了k个物品且这k个物品的最大值不超过c, 这里我们假设把f[i][j][k][c]表示成 在第(i, j)上的, 取了k个物品且这k个物品的最大值等于c, 这时候需要满足(w[i][j] == c)应该能理解吧。
- 那我们要想让我们假设的变成原本表示的含义, 需要让 f[i][j][k][c] 累加上 f[i][j][k][t] t要满足小于c, 这样我们f[i][j][k][c]表示的集合就从假设的变成了原本的, 但是如果f[i][j][k][c]不满足假设的含义, 那么我们没法让f[i][j][k][c]表示成原本的含义
- 所以取(i,j)上的物品是要满足(w[i][j]==c) 是为了能够更好的计算出正确含义的f[i][j][k][c]的值
Orz笔者是这么理解的~
详细的状态转移如下图:
注意事项:
我们f数组的第四维是代表 最大值不超过c, 但是题中 c = [0,12], 由于当我们没有选择任何一个物品的时候应该表示成-1, 但是下标没法是负的, 所以我们可以把每个 c 都加1, 也就是w[i][j] + 1. 这样我们 f 的第四维在没有取任何物品时就可以用 下标 0 表示了
看不懂的话, 可以先看这两个题, 摘花生 和 最长上升子序列, 本题是前两道题的揉和
ac代码👇
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 55, MOD = 1000000007;
int w[N][N], n, m, k;
int f[N][N][13][14];
int main()
{
cin >> n >> m >> k;
for (int i = 1; i <= n; i ++)
for (int j = 1; j <= m; j ++) cin >> w[i][j], w[i][j] ++;
// 初始化
f[1][1][1][w[1][1]] = 1; // 取
f[1][1][0][0] = 1; // 不取
for (int i = 1; i <= n; i ++)
for (int j = 1; j <= m; j ++)
{
if (i == 1 && j == 1) continue; // 初始话的跳过
for (int u = 0; u <= k; u ++)
for (int v = 0; v <= 13; v ++)
{
f[i][j][u][v] = (f[i][j][u][v] + f[i][j - 1][u][v]) % MOD; // 状态计算 1
f[i][j][u][v] = (f[i][j][u][v] + f[i - 1][j][u][v]) % MOD; // 状态计算 2
if (u > 0 && w[i][j] == v) // u > 0 加不加都行, 不影响答案, 因为 u == 0的时候表示什么都没选, 进入下面的循环也没意义
{
for (int c = 0; c < v; c ++) // 常见问题解释的就是这里, 需要加上比 v 小的f, 才能让 f[i][j][k][c]表示的含义正确
{
f[i][j][u][v] = (f[i][j][u][v] + f[i][j - 1][u - 1][c]) % MOD; // 状态计算 3
f[i][j][u][v] = (f[i][j][u][v] + f[i - 1][j][u - 1][c]) % MOD; // 状态计算 4
}
}
}
}
int res = 0;
for (int i = 0; i <= 13; i ++) res = (res + f[n][m][k][i]) % MOD;
cout << res << endl;
return 0;
}
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