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343. 整数拆分

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给定一个正整数 n ，将其拆分为 k 个 正整数 的和（ k >= 2 ），并使这些整数的乘积最大化。

返回 你可以获得的最大乘积 。

示例 1:

输入: n = 2
输出: 1
解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1。

示例 2:

输入: n = 10
输出: 36
解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36。

提示:

• 2 <= n <= 58

题解分析

本题整数拆分的核心问题是如何定义状态方程的转移。状态方程的定义是比较简单的，dp[i]就表示i拆分后可以得到的最大乘积。对于dp[i]的状态转移来说，需要考虑以下两种情况：

• i可以拆分为j和i-j，i-j无需再次拆分，此时的乘积为：j * (i - j)
• i可以拆分为j和i-j，将i-j再次拆分，此时的乘积为：j * dp[i - j]

为了求得最大乘积，需要从1开始遍历上述的j，在遍历的过程中不断更新dp[i]为最大值。

结果只需要返回dp[n]即可，也就是将n进行拆分后的最优结果。

java实现

class Solution {
    public int integerBreak(int n) {
        // dp[i] = max(j * (i - j), j * dp[i-j])
        int[] dp = new int[n + 1];
        dp[0] = 0;
        dp[1] = 0;// 不可再分
        for (int i=2; i<=n; i++) {
            dp[i] = 0;
            for (int j = 1; j<i; j++) {
                dp[i] = Math.max(dp[i], Math.max(j * (i - j), j * dp[i-j]));
            }
        }
        return dp[n];
    }
}

参考

官方题解-整数拆分