3 勾股定理延伸

我们一直低估了勾股定理。上一章表明它适用于任何有平方项的公式。

3.1 理解该定理

在任意直角三角形中如果 a=3 和 b=4，那么 c=5。很简单吧？那么，关键的一点是 a 和 b 成直角（注意小红框）。一个方向的移动对另一个方向没有影响。
这有点像南北与东西的关系。向北移动不会改变你的东西方向，反之亦然--这两个方向是独立的（极客术语是正交）。
勾股定理可以让你找到正交方向之间的最短路径距离。因此，这并不是真正的直角 “三角形”--而是比较以直角运动的 “物体”。

如果我向东走 3 个街区，向北走 4 个街区，我离起点有多远？

3.2 “c ”是什么？

我们可以把 c 想象成一个数字，但这样我们就会陷入无聊的三角。我喜欢把 c 看作 a 和 b 的组合。
但它并不是像加法那样的简单组合--毕竟，c 并不等同于 a + b。它更像是一个分量的组合--勾股定理让我们以类似加法的方式将正交分量组合起来。这就是神奇之处。
在我们的例子中，C 是 5 块 “距离”。但它不止于此：它包含了东 3 个街区和北 4 个街区的组合。沿着 C 移动意味着你同时向东和向北走。这种思考方式不错吧？

3.3 将定理串联起来

用红色画另一个三角形，用 c 作为其中一边。由于 c 和 d 成直角（正交！），我们就得到了勾股定理关系：
c² +d² = e²。
当我们用 a² +b²代替 c² 时，可以得到
a² +b² +d² = e² 我们用 3 个正交分量（a、b 和 d）写出了 e。

3.4 三维空间的勾股定理

觉得两个三角形很奇怪？试试从纸上拉一个出来。不要将三角形平放，而是将红色三角形向上倾斜：

它是同一个三角形，只是朝向不同。但现在我们是在三维空间中！如果我们把边分别叫做 x、y 和 z，而不是 a、b 和 d，就会得到
x² + y² + z² = distance² 。

参考资料

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3.5 多维

正如您所猜测的，勾股定理可以推广到任意维数。
维数。也就是说，您可以将一堆三角形串联起来，然后统计 “外部 ”部分：
你可以想象每个三角形都有自己的维度。如果线段成直角，则定理成立，计算结果也就出来了。

3.6 如何计算距离勾股定理是计算两点间距离的基础。考虑两个三角形：

边长为 (4,3) [蓝色] 的三角形
边长为 (8,5) [粉红色] 的三角形
从蓝色三角形的顶点 [坐标为 (4,3)] 到红色三角形的顶点 [坐标为 (4,3)] 的距离是多少？
到红色三角形的顶点 [坐标 (8,5)] 的距离是多少？那么，我们可以通过减去相应的边，在端点之间创建一个虚拟三角形。
虚拟三角形的斜边就是两点之间的距离：
距离：(8-4,5-3) = (4,2) = sqrt(20) = 4.47

在三维空间中，我们可以用同样的方法求得点 (x1, y1,z1) 和点 (x2, y2,z2) 之间的距离：
distance²= (x2 - x1)² +(y2 - y1)² +(z2 - z1)²而且，如果一边比另一边大，也没有关系，因为差值是平方，将是正值（该定理的另一大副作用）。

3.7 如何使用任何距离

该定理并不局限于狭义的空间距离定义。它可以应用于任何正交维度：空间、时间、电影口味、颜色、温度。
温度。事实上，它也适用于任何一组数字（a,b,c,d,e）。让我们一起来看看。

3.8 测量用户偏好假设你做了一项调查，以了解用户对电影的偏好：

您喜欢《兰博》吗？(1-10)
您喜欢《小鹿斑比》吗？
您喜欢《宋飞正传》吗？
我们如何比较人们的评分？找到相似的偏好？
如果我们将评分表示为一个 “点”（兰博、小鹿斑比、宋飞），我们就可以这样表示
我们的调查回答可以这样表示
硬汉：（10，1，3）
普通人：（5，5，5）
敏感男：（1，10，7）
利用该定理，我们可以看出人们的 “差异 ”有多大：
利用这个定理，我们就可以知道人们的 “差异 ”有多大：
硬汉与普通人：(10 - 5, 1 - 5, 3 - 5) = (5, -4, -2) = 6.7
硬汉与敏感人：(10 - 1, 1 - 10, 3 - 7) = (9, -9, -4) = 13.34

正如我们所猜测的，硬汉与敏感人之间的差距很大，普通人处于中间。该定理可以帮助我们量化这种距离，并对类似结果进行聚类等有趣的操作。
这种技术可用于对 Netflix 电影偏好进行评级，也可用于其他类型的协同过滤，即根据偏好进行预测（如亚马逊推荐）。用极客的话说，我们将偏好表示为一个向量，然后使用该定理找出它们之间的距离（或许还能将相似的项目分组）。

3.9 寻找颜色距离

测量颜色之间的 “距离 ”是另一个有用的应用。颜色用红/绿/蓝 (RGB) 值来表示，从 0（最小值）到 255（最大值）。例如

黑色：（0, 0, 0）- 无颜色
白色：（255, 255, 255）
每种颜色的最大值 - 红色：（255, 0, 0）- 纯红色，无其他颜色

我们可以在 “色彩空间 ”中绘制出所有的颜色，就像这样：

我们可以用通常的方法得到颜色之间的距离：得到从我们的（红、绿、蓝）值到黑色（0,0,0）的距离。人类似乎无法分辨相距只有 4 个单位的颜色之间的差别；甚至 30 个单位的距离在我看来也非常相似：

你觉得这些颜色有多相似？色彩距离为我们提供了一种量化
的方法来测量颜色之间的距离。通过巧妙地运用色彩距离，你甚至可以破解某些模糊的图像。

3.10 要点：你可以测量任何东西

如果你能用数字表示一组特征，你就可以用定理对它们进行比较：

一周内的温度： (周一、周二、周三、周四、周五）。比较连续几周的气温，看看它们有多 “不同”（找出 5 维向量之间的差值）。
每小时、每天或每周进入商店的顾客人数 - 时空距离：（纬度、经度、高度、日期）。如果你要制作一台时光机（或使用时光机的电子游戏），这很有用！
人与人之间的差异：（身高、体重、年龄）
公司之间的差异：（收入、利润、市值）

你可以通过不同的权衡特征来调整距离（例如，将年龄差异乘以某个系数）。但核心理念非常重要，我再重复一遍：如果可以量化，就可以用勾股定理进行比较。
你的 x、y 和 z 轴可以代表任何数量。而且不局限于三维空间。当然，数学家们很乐意告诉你测量距离（又称度量空间）的其他方法，但勾股定理是最著名的，也是一个很好的起点。

3.11 小结
当我们重温 “教过 ”的概念时，需要学习的东西太多了。数学是美丽的，但它的优雅通常被机械的证明和一堵方程墙所掩盖。我们不需要更多的证明，我们需要的是有趣、直观的结果。
例如，勾股定理：

适用于任何形状，而不仅仅是三角形（如圆）
适用于任何有正方形的等式（如 mv²/2）
适用于任何维数（a² +b² +c² + ...）。
测量任何类型的距离（如颜色或电影偏好之间的距离）。